北京市汇文中学2023届高三下学期3月月考数学试卷

2023北京汇文中学高三3月月考 数 学 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（4分）已知集合A＝{x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B＝{﹣2，﹣1}，那么A∪B等于（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣1} 2．（4分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A．|a|＜|b| B． C． D．lna＞lnb 3．（4分）如果平面向量＝（2，0），＝（1，1），那么下列结论中正确的是（　　） A．||＝|| B．•＝2 C．（﹣）⊥ D．∥ 4．（4分）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（4分）在等比数列{an}中，a1＝3，a1+a2+a3＝9，则a4+a5+a6等于（　　） A．9 B．72 C．9或70 D．9或﹣72 6．（4分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝tanx C．y＝2x D．y＝x+sinx 7．（4分）已知双曲线x2﹣＝1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（　　） A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±3y＝0 D．3x±y＝0 8．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（　　） A．[﹣1，+1] B．[1，3] C．[﹣1，2] D．[1，+1] 9．（4分）如果函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 10．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝x，B1F＝y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（　　） A．[0，1] B．[，] C．[1，2] D．[，2] 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）复数等于　 　． 12．（5分）在的展开式中，常数项是 　 　（用数字作答）． 13．（5分）若lga﹣2lg2＝1，则a＝　 　． 14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c＝3，C＝，sinB＝2sinA，则a＝　 　． 15．（5分）设函数f（x）＝，其中a＞0． ①若a＝3，则f[f（9）]＝　 　； ②若函数y＝f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是 　 　． 三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（14分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cosA＝， cos． （Ⅰ）求cos∠BDC； （Ⅱ）求BC的长． 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2． （Ⅰ）求证：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值． 18．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 20以下 70以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[50，70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50，60）的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋． 19．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围． 20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值． 21．设数列A：a1，a2，…，an（n≥2）．如果ai∈{1，2，…，n}（i＝1，2，…，n），且当i≠j