2-9 函数的零点与方程的解 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.9 函数的零点与方程的解 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解． 2.9 函数的零点与方程的解 1 一、主干知识 2 考点1：函数的零点与方程的解 2 考点2：二分法 2 二、分类题型 3 题型一 函数零点所在区间的判定 3 题型二 函数零点个数的判定 5 题型三 函数零点的应用 8 命题点1　根据函数零点个数求参数 8 命题点2　根据函数零点范围求参数 9 三、分层训练：课堂知识巩固 15 一、主干知识 考点1：函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 考点2：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、分类题型 题型一 函数零点所在区间的判定 【例题精析1】 （2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解答】由于均为增函数，所以为定义域上的增函数，, 根据零点存在定理,零点在区间内.故选：C 【例题精析2】 （2023秋·天津北辰·高三校考期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【解答】解：的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解答】函数 是上的连续增函数,, 可得,所以函数 的零点所在的区间是.故选：C 【对点精练2】 （2023·全国·高三专题练习）函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【解答】函数，其定义区域为，所以，所以函数在上单调递增，，，， 所以的零点所在区间为.故选：B. 【对点精练3】 已知函数的零点为，的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【解答】分别为直线与和的交点的横坐标， 因为函数与函数互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线， 而直线、的交点是坐标原点，故，，，， ，，故 故选：BCD. 题型二 函数零点个数的判定 【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：令得， 在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下： 由图象可知，函数与的图象有3个交点， 即函数有3个零点，故选：C. 【例题精析4】 已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【对点精练4】 若函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】由， 则可作出函数的图象如下： 由方程，得或， 所以方程的实根个数为3．故选：A． 【对点精练5】 （2023·四川校联考三模）函数的零点个数为__________. 【解答】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象， 易知零点个数为1.故答案为：1. 【对点精练6】 （2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______． 【解答】函数的零点即为方程的根，解方程得或． 作出函数的图像，如图所示． 由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．因此