2-7 对数与对数函数(精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.7 对数与对数函数 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 2.7 对数与对数函数 1 一、主干知识 1 考点1：对数 2 考点2：对数函数 2 【常用结论归纳】 3 二、分类题型 4 题型一 对数式的运算 4 题型二 对数函数的图像及应用 7 题型三 对数函数的性质及应用 10 命题点1　比较指数式、对数式的大小 10 命题点2　解对数方程不等式 11 命题点3　对数性质的应用 12 三、课堂总结：知识图谱 16 四、分层训练：课堂知识巩固 17 一、主干知识 考点1：对数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 考点2：对数函数 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时， y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时， y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【常用结论归纳】 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3． 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 4.指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法） （5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 5.指数函数与对数函数的联系与区别： 二、分类题型 题型一 对数式的运算 【例题精析1】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（    ）. A．3 B．6 C．12 D．18 【解答】由得：，由换底公式可得：，则，所以， 因为，所以，故选：B 【例题精析2】 （2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（    ）. A．3 B．6 C．12 D．18 【解答】由得：， 由换底公式可得：，则，所以，因为，所以，故选：B 【例题精析3】 （2021秋·高一课时练习）计算: (1)； (2). 【解答】（1） . （2） . 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 【对点精练1】 （2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是__________. 【解答】因为实数a，b满足，所以，且. 令，则，所以，代入，则有， 所以关于b的一元二次方程有正根， 只需，解得：. 此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.综上所述：. 即的最小值是（此时，解得：）. 故答案为：. 【对点精练2】 （2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________． 【解答】因为，所以，. 又，， 所以，.因为，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 则，所以的最大值为.故答案为：. 【对点精练3】 已知，则的值为___