重庆市南岸南坪中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

重庆市南坪中学校高2022级高一（下）半期检测数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是 A. 若，，∥，则 B. 若，∥，则 C 若∥，，则∥ D. 若∥，∥，则与所成的角和与所成的角相等 3. 复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等边的边长为2，为的中点，若，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，，当阳马的体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，，点是边的中点，则的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中不止一项符合题目要求．全选对得5分，没选全得2分，选错得0分） 9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 对任意复数都有 D. 复数为实数充要条件是 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则内切圆半径为 D. 若，则外接圆半径为 12. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN C. 三棱锥P-MBN的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，满足，，，则________． 14. 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若，则x＋y的值是________. 15. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为______． 16. 已知等边的边长为2，将其绕着BC边旋转角度，使点A旋转到位置．记四面体的内切球半径和外接球半径依次为r，R，当四面体的表面积最大时，______，______． 四、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余各题12分，共70分） 17. 已知中角所对的边分别为满足. （1）求角； （2）若，求角的平分线的长. 18. 如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为． （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求宣传牌CD的高度．（结果保留根号） 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点． （1）若，求证：直线平面PAB； （2）已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角． 20. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若A