2024届高三数学一轮复习基础夯实练11：二次函数与幂函数

基础夯实练11 二次函数与幂函数 1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．(2023·保定检测)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0,3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) 5．(多选)幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 6．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于(　　) A．－ B. C．－5 D．5 7．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________． 8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________． 9．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)(m∈R)为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值． 10．设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－. (1)求f(x)的解析式； (2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最大值． 11.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0<m<1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A. B．1 C. D．2 12．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 13．已知函数f(x)＝2ax2－2 022x－2 023，对任意t∈R，在区间[t－1，t＋1]上存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1成立，则a的取值范围是(　　) A. B．[－1,1] C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞) D.∪{0}∪ 14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<xn≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|≤M，则M的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案 1．D　2.A　3.C　4.C　5.ABD　6.BC 7．f(x)＝x2－4x＋3 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立， ∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2， 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)， ∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3， ∴a＝1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 8．3 解析　因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)， 则a>0， 所以f(x)min＝＝＝1， 即ac－1＝a，可得a＝>0， 则c>1， 所以＋＝c＋－1≥2－1＝3， 当且仅当c＝2时，等号成立， 因此＋的最小值为3. 9．解　(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝， 当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意； 当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意， 故f(x)的解析式为f(x)＝x2. (2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)·x＋1＝x2－2(a－1)x＋1. 函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)， 由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意， 所以实数a的值为2. 10．解　(1)由题意知，函数f(x)的图象