2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合

2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合 1．（2023•海淀区人大附中开学）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点． （1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标； （2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，W与W'组成一个新函数的图象． ①若点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，求b的值； ②若点（m，y1），（m+n，y2）是新函数图象上两点，若存在n≥2+，使得y1＞y2，直接写出m的取值范围． 2．（2023春•海淀区101月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（﹣1，3），B（4，3），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围； （3）点P（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1上，点Q（x2，y2）在一次函数y＝x+a+1的图象上，若对于任意，总存在x2≥0，使得y1≥y2，直接写出a的取值范围． 3．（2023•海淀区首师大附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1． （1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值； （2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围． 4．（2023•海淀区玉渊潭中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+3，y2），当y1•y2＜0，求a的取值范围． 5．（2023•海淀区北师大三附一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023•海淀区首师大附中开学）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）设直线y＝b与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤4，直接写出b的取值范围； （3）若抛物线上存在两点M（m，m）和N（n，﹣n），且当m＜0，n＞0时，有m+n＞0，求a的取值范围． 7．（2023•海淀区十九中+八一中学模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4a的顶点为点A，且0＜h＜3， （1）若a＝2， ①点A到x轴的距离为 　 　； ②已知点M（﹣1，﹣6），N（3，﹣6），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，求h的取值范围； （2） 已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y1＜yD＜y2，求a的值和h的取值范围． 8．（2023春•海淀区人大附中月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，y1），，C（m，y3）三个点在抛物线y＝x2﹣2ax+c（a＞0）上． （1）当a＝1时，求抛物线的对称轴，并直接写出y1和y2的大小关系． （2）①若m＝5，y1＝y3，则a的值为 　 　； ②若对于任意2≤m≤5，都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围． 9．（2023•海淀区玉渊潭中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）． （1）若抛物线过点（4，﹣1）． ①求抛物线的对称轴； ②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式； （2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围． 10．（2023春•海淀区清华附中月考）已知抛物线y＝ax2+（6a﹣2）x（a＞0），点（﹣3，m），（﹣1，n），（x0，t）在该抛物线上． （1）若m＝n，t＞0，求x0的取值范围； （2）若存在0≤x0≤1．使得n＜t＜m，求a的取值范围． 11．（2023•海淀区清华附中开学）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （3） 若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3