北京市第二十中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

北京市第二十中学2022-2023学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 （时间： 120 分钟 满分： 150 分 为 必修三 模块结业考试） 命题人 ：付 莉 审题人 ：罗 艳 班级 姓名 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题均有四个选项，其中只有一个符合题意. （1） （A） （B） （C） （D） （2）已知且，则角为 （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第四象限角 （3）在四边形中， （A） （B） （C） （D） （4）若角的终边经过点，则的值为 （A） （B） （C） （D） （5）在半径为的扇形中，圆心角为，则扇形的面积是 （A） （B） （C） （D） （6）如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则 （A） （B） （C） （D） （7）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为 原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则 （A） （B） （C） （D） （8）已知，是单位向量，. 若，则与的夹角为 （A） （B） （C） （D） （9）已知函数（），则“函数的图象经过点”是 “函数的图象经过点”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）已知点, , ．若平面区域由所有满足（, ）的点组成，则的面积为 （A） （B） （C） （D） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. （11）计算：＝_____． （12）已知向量，，若，则实数的值为_____． （13）如图，网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点 作为向量的始点和终点，则的最大值为 . （14）用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 则_____；_____. （15）已知函数，，其中，，，是这两个函数图象的 交点，且不共线. ①当时，△面积的最小值为 ； ②若存在△是等边三角形，则的最小值为 . 北京市第二十中学2022-2023学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 班级 姓名 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16）（本小题共14分） 已知角是第三象限角，且. （Ⅰ）化简； （Ⅱ）若，求的值. （17）（本小题共14分） 已知向量， （Ⅰ）若与共线，求实数的值； （Ⅱ）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． （18）（本小题共14分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的定义域及的值； （Ⅱ）若，求的值. （19）（本小题共14分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调递增区间及最小正周期； （Ⅱ）当时，的取值范围为，求的最大值. （20）（本小题共14分） 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （Ⅰ）直接写出的值； （Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值. 条件①：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件②：为函数的图象的一个对称中心. （21）（本小题共15分） 对于正整数，如果个整数满足且，则称数组为的一个“正整数分拆”，记均为 偶数的正整数分拆的个数为，均为奇数的“正整数分拆”的个数为. （Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”； （Ⅱ）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且， 求的最大值； （Ⅲ）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. （注：对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且 时，称这两个“正整数分拆”是相同的.） 共 2 页 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2022-2023学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 参考答案 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B D D C A B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 题号 11 12 13 14 15 答案 ； ， 3、 解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）； （Ⅱ）因为，即， 因为，所以， 又因为角是第三象限角，所以， 所以. 因此. （17）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为与共线，且，， 所以，即. 解得. （Ⅱ）因为与的夹角是钝角，所以. 即，解得