北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试卷

高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中高22级） 2023.4 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）设集合,,则等于(     ) (A) (B) (C) (D) （2）若点在角的终边上,则=(     ) (A) (B) (C) (D) （3）已知向量,,则向量与的夹角为(     ) (A) (B) (C) (D) （4）当时,的最小值为(     ) (A) 5 (B) 4 (C) 2 (D) 1 （5）在△中,,,边上的高为,则(     ) (A) (B) (C) (D) （6）若函数的最小正周期是,且图像关于点对称,则符合条件的一个的值为(     ) (A) (B) (C) (D) （7）已知,则,,的大小关系是(     ) (A) (B) (C) (D) （8）已知正方形的边长为1,点是对角线上任意一点,则的取值范围为(     ) (A) (B) (C) (D) （9）在△中,内角,,的对边分别为,,,则“”是“△是钝角三角形”的(     ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （化为角，或化为边，或找的几何意义也行；反过来的反例B是钝角） （10）如图,某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面,其圆心为,现规划在半圆弧岸边取点,,,且,在扇形区域内种植芦苇,在扇形区域内修建水上项目,在四边形区域内种植荷花,并在湖面修建栈道和作为观光线路. 当最大时,游客有更美好的观赏感受. 则的最大值为(     ) (A) (B) (C) (D) 分析：设，则，， 设的中点为，的中点为，连接，，则，，则，， ∴ ， 当时，最大值为，故选：.  第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）已知平面向量,,,,与夹角是,则 =_________. 2 （12）若函数在处的切线与直线垂直,则 =_________. （13）已知函数,则不等式的解集为_________. （14）已知函数,则的最小值为_________. （15）已知函数,关于的不等式的解集为,其中,为常数. 给出下列四个结论： ①直线是曲线的一条切线; ②; ③当时,的取值范围是; ④要使取唯一的值,仅当. 其中,所有正确结论的序号是_________. ①③④ 分析： ①可以设两个切点，但计算上时的切点横坐标为不成立；在上时切点为，切线方程为，并可以证明时图像在切线的下方； ②与原点连线的斜率在上单减，或直接算大小关系； 整理，是过点的直线，画图，此时与有公共点，除公共点外都在的上方. ③当时，运动变化观察得. ④当时，只能是的切线，是唯一的. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）(本小题14分) 已知函数. （I）求函数的最小正周期和单调递增区间; （II）求函数在区间上的最大值与最小值. 解：（I） 最小正周期为. 的增区间为， 则，解得 所以的递增区间为，. （II）， 当，即时，； 当，即时，. （17）(本小题14分) 已知函数. （I）当时,求的单调区间; （II）当时,求的极小值. 解：（I）的定义域为. 令，得或. 0 0 ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以的增区间为，；减区间为. （II） 令，得或. 当时， 0 ↘ 极小 ↗ 所以. 当时， 0 0 ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以. 当时， 0 0 ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以. 综上，当时，；当时，. （18）(本小题14分) 为了丰富社区居民文化生活,某小区准备在一块空地上建一个社区活动中心.如图,该小区内有两条互相垂直的道路与,有一块空地.以为坐标原点,直线与为坐标轴建立坐标系,曲线是函数图像的一部分,线段是函数图像的一部分.社区活动中心的平面图是梯形(其中,为两底边).设梯形的高为米