北京市海淀区北京一零一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学参考答案 一、选择题（每题4分，共10题，共40分） 1. C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C 9. A 10. A 二、填空题（每题5分，共6题，共30分） 11. 2 2 . 12. 5. 13. 12. 14. [ 3 3)−  . 15. 2 [ ) 27 + . 16. ②③. （0分，3分，5分） 三、解答题（共4题，共50分） 17.（共10分） (1) （5分）因为 1 2n na a+ = + , 所以数列{ }na 是公差为2的等差数列, 设公差为 d , 则 2d = . 又因为 2 3S a= , 所以 1 2 3a a a+ = , 得 1 2a d= = . 所以 1 ( 1) 2 ( )na a n d n n = + − = N . 又因为 1 3 ma a a  成等比数列, 所以 2 3 1 ma a a=  , 即36 2 2m=  , 得 9m = . (2) （5分）因为 22 2 2 4n nnb n n= − = − , 所以 1 2 1 2 1 2 (2 1 4 ) (2 2 4 ) (2 4 ) 2 (1 2 ) (4 4 4 ) ( 1) 4 (1 4 ) 4 4 4 2 ( 1) (4 1) 2 1 4 3 3 3 n n n n n n T n n n n n n n n + =  − +  − + +  − =  + + + − + + + +  − =  − = + −  − = + + − − . 18. （共12分） (1)（3分）当 1a = 时, 2( ) ln 3f x x x x= + − , 0x  . 1 (2 1)( 1) ( ) 2 3 x x f x x x x − −  = + − = , 令 ( ) 0f x = , 得 1 2 x = 或 1x = . 所以 ( )f x 在 1 (0 ) 2  上单调递增, 在 1 ( 1) 2  上单调递减, 在 (1 )+ 上单调递增. 所以 ( )f x 极小值为 (1) 2f = − . (2)（4分） (2 1)( ) ( ) 2 (2 1) a x x a f x x a x x − −  = + − + = , 其中 0x  , 0a  , 令 ( ) 0f x = , 得 1 2 x = 或 x a= . 当 1 2 a = 时, ( ) 0f x  恒成立, 所以 ( )f x 的单调递增区间为 (0 )+ ，无单调递减区间. 当 1 2 a  时, 令 ( ) 0f x  得 1 0 2 x  或 x a ， 令 ( ) 0f x  得 1 2 x a  ， 所以， ( )f x 的单调递增区间为 1 (0 ) 2  ，( )a+ ，单调递减区间为 1 ( ) 2 a . 当 1 0 2 a  时, 令 ( ) 0f x  得0 x a  或 1 2 x  ， 令 ( ) 0f x  得 1 2 a x  ， 所以， ( )f x 单调递增区间为在 (0 )a ， 1 ( ) 2  + , 单调递减区间为 1 ( ) 2 a . (3)（5分）当 1 0 2 a  时, ( )f x 在 (0 )a 上单调递增, 在 1 ( ) 2 a 上单调递减, 在 1 ( ) 2  + 上单调递增. 所以 ( )f x 极大值为 2( ) ln (2 1) (ln 1)f a a a a a a a a a= + − + = − − . 由于 1 0 2 a  ，所以 ln ln1 0a  = ，所以 ln 1 0a a− −  ，所以 ( ) 0f a  ， 所以对任意的 1 (0 ) 2 x  , ( ) ( ) 0f x f a  ，所以 ( )f x 在 1 (0 ) 2  上无零点. 因为 1 ( ) ( ) 0 2 f f a  , 2 2( ) e (2 1) e (2 1) 0f e a a e a e a a= + − + = + − +   . 所以存在唯一 0 1 ( ) 2 x  + , 使得 0( ) 0f x = . 综上, 当 1 (0 ) 2 a  时, 函数 (