广东汕头市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段检测数学试题

2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级 数学科 试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．ABD 11．AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．121 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， （1分） 即， 所以， （2分） 因为，所以， 又，所以， （3分） 所以，即， （4分） 因为， （5分） 所以． （6分） （2）［法一］因为，， 所以 （1分） ， （4分） 当且仅当时，等号成立， （5分） 所以，又， （6分） 所以b的取值范围为． （7分） ［法二］因为，， 所以 （1分） （4分） 由且，可得 （5分） 所以，，即b的取值范围为 （7分） ［法三］由正弦定理得，， （1分） 又， 可得 （4分） 又，即， （5分） 可得 （6分） 所以，b的取值范围为． （7分） 16．【解析】（1）［法一］取中点M，连接，，如图所示， 因为E，M分别为，的中点，所以，且 又F为的中点，所以， 又，所以，即四边形是平行四边形 （1分） 所以 （2分） 因为平面，平面， （3分） 所以平面． （4分） ［法二］取中点G，连接，，如图所示， 因为E，G分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， （1分） 同理平面， （2分） 又，平面，，所以平面平面， （3分） 因为平面，所以平面． （4分） （注：若由线线平行直接推出面面平行，本题只得2分） （2）［法一］①因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， （2分） 又，，，平面， 所以平面， （4分） 因为平面，所以． （5分） ②因为平面，底面为正方形 所以，以点A为原点，分别以，，为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 由①得，且E为的中点，则， 则，，，，， （6分） 所以，，， 设平面法向量为， 则，令，则，， 所以， （8分） 设直线与平面所成角为， 则 （10分） 即直线与平面所成角的正弦值为． （11分） ［法二］①因为平面，底面为正方形 所以，以点A为原点，分别以，，为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 设，且，则，，，，，， （1分） 所以， 由可得，，解得 （3分） 可得， 所以， （5分） 即． （6分） ②由①得， 所以，，， 设平面法向量为， 则，令，则，， 所以， （8分） 设直线与平面所成角为， 则 （10分） 即直线与平面所成角的正弦值为． （11分） 17．【解析】（1），（2分） 由， （3分） 解得，， （4分） 故的单调递增区间为，． （5分） （注：单调区间必须写成区间形式，若写成集合或者不等式，最后一步不得分） （2）因为，所以， （1分） 当时，即当时，取最大值为2； （3分） 当时，即当时，取最小值为-1． （5分） （3）由（1）得， 因为对任意，恒成立， 所以是最小值，是最大值， 则，解得， （1分） 则，解得， 因此函数解析式为， （2分） 由即，可得：， 则， （3分） 解得， （4分） 所以，的解集是． （5分） （注：解集必须写成集合形式，若写成不等式，最后一步不得分） 18．【解析】（1）由可得，， （1分） 又，（注：此步没写“”，不扣分） （2分） 故是首项为-1，公比为2的等比数列 （3分） 因此， 即． （4分） （2）设数列的前n项和为， 由（1）知，故， （1分） ，① ，② （2分） ①-②得， （注：若没展示使用等比数列求和公式，此步不得分） （3分） ， （4分） 故． （5分） （3）依题意可得，， （1分） 由题意，为的第项，故， （2分） 所以， 由等比数列前n项和公式可得：， 故， （4分） 令，设，， 则， 故为递增数列， （6分） 又，， （7分） 故满足不等式的最大正整数9． （8分） 19．【解析】（1）当时， 所以，故切点为， （1分） 又，可得切线斜率， （2分） 所以切线方程为，即． （3分） （2）当时，，， 由轴，可知P，Q两点的纵坐标相等，即， 所以，即， （1分） 因为，P，Q两点间的距离， 由于，， 令， （2分） 则，， 令，则， 因为时，所以（仅在时等号成立），即在上单调递增， （4分） 因此，即在上单调递增， （5分） 所以的最小值为， 所以两点间最短距离为1． （6分） （3）依题意可得，当时，恒成立， （1分） 且，， 所以，整理得对任意恒成立， 令，即对任意恒成立， （2分） 注意到，要使在时恒成立，则在附近的右侧必须单调递增， ，且， 若要满足条件，必有，所以，即， （3分） 当时，， （4分） 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 因此，在上单调递增，且， 所以， （6分） 从而， 所以，当时在上单调递增， （7分） 因此对任意恒成立， 所以实数a的取值范围是． （8分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级 数学科 试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知等差数列不是常数列，若，且、、成等比数列，则（ ） A．10 B．19 C．20 D．21 4．已知点在角的终边上，将的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A． B． C． D． 5．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积S（单位：）与搜索时间t（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，k为常数．某次演练中，搜索1 h和3 h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，． A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 6．若直线是曲线与曲线的公切线，（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若在部分的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的公比为q，其前n项积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则n的最小值为4053 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z满足，则下列结论正确的有（ ） A．z的共轭复数 B．z是方程的一个根 C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．是纯虚数 10．函数（，，）的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 11．已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A． B．函数有3个零点 C．的对称中心为 D．过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，且，，则的值为__________． 13．已知数列为等比数列，，，则__________． 14．已知函数是R上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，求b的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，E，F分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）已知平面，， ①证明：； ②求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值与最小值，及其对应的x的值； （3）已知函数，若任意，恒成立时，的最小值为，解不等式． 18．（本小题满分17分） 在数列中，，． （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，⋯，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数n的值． 19．（本小题满分17分） 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，（，），且轴，求P、Q两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $