等高线问题 讲义-2023届高考数学二轮复习

第14讲 等高线问题 一、问题综述 函数中的等高线问题是指形如下面的问题： 已知，若互不相等， 且，则的取值范围是 二、典例分析 类型1：之和型 【例1】设函数，若互不相等的实数，满足，则 的取值范围 ． 【解析】作图如下： 由，结合对称性得 ． （说明：也可以求出的范围，进而得出结果） 类型2：之积型 【例2】已知，是互不相同的正数， 且，则的取值范围是（ ） ． ． ． ． 【解析】作图如下： 令，进而得到 ，， ． 类型3：综合型 【例3】已知函数，若方程有四个不同的解，且 ，则的取值范围是（ ） ． ． ． ． 【解析】作图如下： 易得，，进而 【方法小结】 此类问题关键点（1）精准作图；（2）结合图像，找出关系；（3）将多元问题转化为一元问题（注意变量范围）。 三、巩固练习 1．对于实数和，定义运算“*”： 设=，且关于的方程 （）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________． 2．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点， 与函数的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为 ．[来源%&:中国~*教育#出版网] 3．设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中．若 ，则的值为 ． 4．设， 函数 (Ⅰ) 证明在区间内单调递减， 在区间内单调递； (Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行， 且 证明． 四、巩固练习参考答案 1．解析： ， 作图像，不妨设， 易得，且，那么 ， 令，．求导得 时，， 即在单调递增， ． 2. 解析：在同一坐标系中作，，图像如下图， 由，得， ，得，．依照题意得 ，， 由得 3．解析：的周期为，得， ①； 同理由得， ②；联立①②得，． 4．解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)由题意易得， 做出简图为， 其中；， ， 由图得， ， 将作为变量，得，下求的最小值， 令，，， 易得，即，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $