导数中的距离问题 讲义-2023届高考数学二轮复习

第14讲 导数中的“距离”问题 一、问题综述 导数中的“距离”问题是指形如下面的问题： 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 二、典例分析 类型1：一曲一直型 【例1】已知函数．若存在，使得，则实数的值为 ． 解法1：（构造距离） 设，则的几何意义是的平方． 其中点在曲线上，点在直线上． 设且与曲线相切，切点为， 又，则， ， 进而有， 即．欲使存在，使得，则． 此时，，即，得． 【方法小结】方法一将存在性问题转化为求函数的最小值问题，数形结合构造两点间距离，然后利用切线求得距离的最小值，即函数的最小值．而此题函数的最小值恰好的题目所给的值，所以存在的只有一个，即切点的横坐标．进而求得的值．当求出坐标之后，求和的值时，还有如下做法： ，又，两边夹得：，此时． 易求得:，与联立，解得，． 解法2：（权方和+不等式） 由熟知的不等式可得：，即（当且仅当时等号成立．） 进而有： = 即，又，． 这说明上面的不等式中等号在处取到． 因此，即，故． 【方法小结】方法二巧妙的结合利用了权方和不等式和我们熟知的不等式求得了函数的最小值，并在取等条件下求得和的值．此法对权方和不等式要求较高． 权方和不等式：，当且仅当时等号成立． 权方和不等式（二维形式）：，当且仅当时等号成立． 特点：分子的次数比分母的次数高一次． 解法3：（变换主元+判别式） 依题意：有解， 即有解． 故判别式，化简得． 由我们熟知的不等式可得：，即（当且仅当时等号成立．）于是，故，因此． 所以式对应的方程有两相等根，故． 【方法小结】方法三另辟蹊径巧妙的变换主元，把原式转化成关于的一元二次方程，通过判别式及切线放缩求得的值，进而求得的值． 解法4：（变换主元+二次函数最值） (其中仍利用得) 【方法小结】方法四与方法三有异曲同工之妙，利用主元思想构造二次函数及切线放缩求得最值． 【变式练习1】 设函数，其中．若存在，使得成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【例2】若对任意的实数，函数在R上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【解析】依题意可知在上恒成立， ∴在上恒成立，令，则， ∵表示直线上的动点与曲线上的动点两点间的距离的平方．设曲线上与直线平行的切线的切点为，则易得切线方程为，即，依题意有， ∴，∴切线方程为，∴两条平行线与间的距离为． ∴，∴． 【例3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解析】依题意可知表示曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，∴的最小值，∴． 【变式练习2】 已知不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【例4】若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值集合为 ． 解法1：利用权方和不等式得： (其中，取等条件) 两边夹得：，当且仅当 且，即． 解法2： 原式=，表示,两点间的距离． 如图利用切线可知，此时． 【变式练习3】 已知的最小值为，则的值为 ． 类型2：两曲型 【例5】设．当变化时，的最小值为 ． 【解析】 解法1：（几何意义+导数） 设分别是函数，图象上的动点，则． 点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即， 故．所以， 当，，三点共线时取等号，故只需求的最小值． 记，则， 当时，；当时，， 所以，从而，当，时取等号． 【方法小结】解法1结合几何意义将目标转化为二次函数上的点与函数上的点之间的距离，进而通过抛物为线的定义转化焦点与上的动点的距离的最小值，最后通过构造函数，利用导数求出函数的最值． 解法2：（几何意义+权方不等式） 设分别是函数，图象上的动点， 则．点到抛物线的准线 的距离，等于点到焦点的距离，即，故． 所以 所以． 【方法小结】解法2在求解抛物线上焦点与上动点的距离的最小值，采取权方和不等式进行求最小值，方法巧妙，令人叹为观止． 附：权方和不等式（当且仅当时取等号）． 解法3：（几何意义+斜率） 设分别是函数，图象上的动点，则． 点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即，故．所以， 设在点的切线方程为，斜率为，．当时，取最小值 ，，解得，，所以． 【方法小结】思路三在求解抛物线上焦点与上动点的距离的最小值时，考虑过二次函数的焦点与上的点的连线与过的切线垂直时，最小．思路三利用几何关