第04讲 基本不等式及其应用（十大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 基本不等式及其应用 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题． 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式及其应用 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：直接法求最值 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例4．（2023·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______． 例5．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若，，且，则的最小值是____________． 例6．（2023·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________. 题型三：常规凑配法求最值 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例7．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________. 例8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为__________. 例9．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为______ 例10．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________． 题型四：消参法求最值 【解题方法总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例11．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 例12．（2023·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________. 例13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，满足，则的最小值是______． 题型五：双换元求最值 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 例14．（2023·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 例15．（2023·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． 例1