第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 等式与不等式的性质 目录 考点要求 考题统计 考情分析 1．掌握等式性质． 2．会比较两个数的大小． 3．理解不等式的性质，并能简单应用． 2022年II卷第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 题型一：不等式性质的应用 【解题方法总结】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断． 例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【解题方法总结】 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是： 若，则；；； 若，则；；． 例4．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______. 例5．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式： ①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b. 其中一定成立的不等式的序号是________． 例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：； （2）设x，，比较与的大小. 例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 【解题方法总结】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________． 题型四：不等式的综合问题 【解题方法总结】 综合利用等式与不等式的性质 例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（