15.解答题之立体几何与空间向量 讲义-2023届高三数学三轮复习

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟 第15讲 解答题之立体几何与空间向量 从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. 1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 3．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 4．（2022年全国新高考I卷数学试题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 5．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 7．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 8．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）如图，平面四边形为矩形，平面，平面，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 9．（天津市耀华中学2023届高三一模数学试题）如图，三棱柱中，，，. (1)证明； (2)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 10．（山西省太原市、大同市2023届高三二模数学试题）如图，三棱柱中，侧面是矩形，，，D是AB的中点. (1)证明：； (2)若平面，E是上的动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 11．（黑龙江省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷）如图，在三棱柱中，平面，，，，点D是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出与长度的比值，若不存在，说明理由． 12．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第六次模拟考试数学试题）如图，中，，D、E分别为中点，将沿翻折成，得到四棱锥，M为中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面成角为，求平面与平面夹角余弦值． 13．（四川省达州市2023届高三二模数学（文科）试题）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面平面ABCD，，，.O，E分别是AD，BC中点. (1)证明：平面POE； (2)，，求点E到平面PCD的距离. 14．（北京市朝阳区2023届高三二模数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F. (1)证明：F为PD的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值. 条件①：三角形BCF的面积为； 条件②：三棱锥的体积为1. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 15．（四川省成都市2023届高三三诊理科数学试题）如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（云南省昆明市2023届高三“三诊一模”高考模拟考试数学试题）如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2． (1)证明：PB⊥AE； (2)当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟 第15讲 解答题之立体几何与空间向量 从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面