回归教材重难点04 反比例函数与一次函数的综合-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

回归教材重难点04 反比例函数与一次函数的综合 本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 （2022年宁夏中考数学试卷第25题）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标． 【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AF⊥x轴于点F，则△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论； （2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F， ∴AF∥y轴， ∴△ACF∽△BCO， ∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2． ∵OB＝1，tan∠OBC＝2， ∴OC＝2， ∴AF＝2，CF＝4， ∴OF＝OC+CF＝6， ∴A（6，2）． ∵点A在反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象上， ∴m＝2×6＝12． ∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）． （2）由题意可知，B（0，﹣1）， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣1． 设点D的横坐标为t， 则D（t，t﹣1），E（t，）． ∴ED＝﹣t+1． ∴△BDE的面积为： （t﹣0）（﹣t+1） ＝﹣t2+t+6 ＝﹣（t﹣1）2+． ∵﹣＜0， ∴t＝1时，△BDE的面积的最大值为，此时D（1，﹣）． 一次函数和反比例函数是初中数学三大函数之中的两个，而反比例函数与一次函数的综合又是两个函数结合问题的典型问题，出题主要集中在一下几点：与方程的关系、与不等式的关系、与图形面积的关系、与坐标的关系等。旨在提升学生的思维归纳能力与数学学科素养。 本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 技法01：函数解析式求解方法： 待定系数法：①设、②代入、③解、④再代入 技法02：函数图象的基本性质： 反比例函数：①K＞0，图象过第一、三象限，在其每一象限内，y随x的增大而减小 ②K＜0，图象过第二、四象限，在其每一象限内，y随x的增大而增大 一次函数：①K＞0，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限， ②K＜0，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限， ③b＞0，直线交y轴于正半轴；b＜0，直线交y轴于负半轴 技法03：函数与方程的关系： 任何函数与方程的关系为：点在图象上，点的坐标符合其关系式，反之亦然。 故，常把已知的点的坐标代入函数表达式，求解函数表达式；也会把含字母的点的表达式代入确定的函数解析式，求解字母的值。 技法04：函数图象与不等式的关系： 不解不等式，而是通过函数图象的上下关系，直接由图象交点的横坐标写出不等式的解集 【中考真题练】 1．（2022•无锡）已知一次函数y＝x+2的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则k的范围是（　　） A．0＜k＜ B．0＜k＜1 C．0＜k＜2 D．0＜k＜4 2．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（　　） A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2 3．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　） A．3 B． C． D． 4．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（　　） A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1 C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1 5．（2022•钢城区）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（　　） A．t＝3 B．k＝1 C．△OAP 的面积是3 D．点B（m，n）在y＝（x＞0）上，当m＞