正文-高中数学阅读：数学文化

１　 ! !" 经典实例漫谈 　　学习数学不仅要掌握数学知识，还要了解该知识产生、发展的过程，尤其要 了解数学家如何发现并提出问题、分析并解决问题的思考过程，学习数学家的 怀疑精神和创新意识．为此，本书选编了欧拉、毕达哥拉斯、阿基米德等数学家 曾经研究过的问题，以便同学们从中得到启发，从而提高数学素养． !．!  欧拉公式与七桥问题 欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）出生在瑞士巴塞尔，是欧洲数学界的灵魂人 物，也是继牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ，１６４３—１７２７）之后最伟大的数学家之一．其实，现在 见到的许多数学符号都是欧拉创设的，例如π，ｅ，ｉ，ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔｇ，∑ ，犳（狓），…． 他提供的数学知识和方法解决了大量的实际问题．遇到问题时，欧拉总是先试 图用数学语言描述实际问题，为解决实际问题而提出一些数学思想，并系统地 发展和推广这一思想，这就是数学抽象、数学建模素养． ２８岁时，欧拉的一只眼睛就近乎失明，后来另一只也看不见了，但是他仍然 以坚强的毅力，解决了许多数学上的难题，为人类社会的发展做出了杰出的贡 献．学习欧拉，不仅要学习他如何思考问题，还要学习他顽强的毅力，努力探求 真理的科学精神． １．１．１　欧拉公式 客观世界是固体化的空间，或者说是几何的化身．因而欧拉很注重对几何 的研究，并探索出很多著名的结论．其中就包括刻画多面体的顶点数、棱数、面 数之间关系的欧拉公式．该公式成为研究拓扑学的基础公式． １．问题提出 我们知道任意三角形的内角和为１８０°，也就是说一个三角形不论形状如 高中数学阅读———数学文化 　 ● ２　 何，即边长、面积、角……可以随意变化，但不变的是内角和恒为１８０°．这种“在 变化中寻求不变”的思维，就是欧拉发现并提出问题的思想基础． 根据这一思想，欧拉曾提出了下列问题：凸多面体是由点、线、面构成的，对 于不同的凸多面体，它的点、线、面的个数之间是否有规律呢？ 欧拉发现了这个结论： 犞－犈＋犉＝２（欧拉公式）， 式中，犞 为顶点数，犈为弧或边（两点之间的连接线）数，犉为面（弧或边围成的 封闭区域）数． 欧拉是如何探究这个结论的呢？ 刚开始可以从简单的平面图形入手，从特殊情形中归纳出一般结论． 观察下列平面图形（图１１），分别算出犞，犈，犉，你会发现什么结论？ （１）　　　　　　　　　　（２）　　　　　　　　（３）　　　　　　　　（４） 图１１ 现将各图形的犞，犈，犉列表如下（表１１）： 表１１ 图序 犞 犈 犉 犞－犈＋犉 图１１（１） ２ １ ０ １ 图１１（２） ３ ３ １ １ 图１１（３） ４ ４ １ １ 图１１（４） ４ ７ ４ １ 　　由表１１可知，在平面图形中有 犞－犈＋犉＝１， 进一步，多面体有类似的性质吗？ 在变化中探究不变的规律，在特殊中寻找一般性的结论，在类比中发现进 一步的新知，这就是欧拉发现并提出问题的思维方式． ２．问题解决 我们也可以像欧拉一样由特殊到一般探究出结论．试观察下列图形 （图１２），并填表（表１２）． ● 第１章　经典实例漫谈 ３　 （１）　　　　　　（２）　　　　　　　（３）　　　　　 　（４） 图１２ 表１２ 图序 犞 犈 犉 犞－犈＋犉 图１２（１） ４ ６ ４ ２ 图１２（２） ８ １２ ６ ２ 图１２（３） １０ １５ ７ ２ 图１２（４） ６ １２ ８ ２ 　　由表１２可知，立体图形中有 犞－犈＋犉＝２， 那么如何证明该结论呢？ 欧拉采取了转化的方法：将立体图形转化为平面图形，将复杂的平面图形 转化为简易的图形．欧拉创造性地对图形进行处理：用可随意变形但不得撕破 或粘连的材料构成的图形，可随意拉伸各面的形状、长度、距离、面积等，与度量 有关的量发生了变化，而顶点数、棱数、面数等不变．欧拉这种处理图形的思想 正是拓扑学的思想基础． 欧拉公式针对的图形具有一般性，为了体现欧拉思想，下面的证明仅基于 空间凸多面体和平面凸多边形． 先证明在平面多边形中有犞－犈＋犉＝１． 将多边形去掉一条边，这样边数犈减少了１，同时面数犉也减少了１个，此 时顶点数犞 保持不变，最终犞＋犉－犈没有变化．继续不断地去掉多边形的边， 最终只剩下一条边，此时犞＝２，犈＝１，犉＝０，则犞－犈＋犉＝１，最终证明了该 结论． 再证明在多面体中有犞－犈＋犉＝２． 假想一多面体是用橡胶皮做的，先去掉一个面再把其余面拉伸到去掉的面 所在平面内①，这时多面体变成一个平面多边形（拉伸图）．新的平面多边形的顶 ① 此种展开与“侧面展开”不同，可以改变形状和大小． 高中数学阅读———数学文化 　 ● ４　 点数、棱数、面数分别为犞′，犈′，犉′，此时犞′－犈′＋犉′＝１．而在变形中，犞＝犞′， 犈＝犈′，犉＝犉′＋