空间向量与立体几何考点冲刺练--2023届高考数学备考考前必刷题

空间向量与立体几何 1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 2．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为60°，，，，，． (1)求证：； (2)求直线DE与平面AEF所成角的正弦值． (3)直接写出的值，使得，且三棱锥的体积为． 3．如图，已知四棱台的体积为，且满足，为棱上的一点，且平面. (1)设该棱台的高为，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点． (1)求点M到直线的距离； (2)求直线PD与平面所成角的正弦值. 5．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ACC1是边长为4的正方形，，点D为BB1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． (1)求证：AB⊥平面A1ACC1； (2)求直线BB1与平面A1CD所成角的正弦值； (3)求点B到平面A1CD的距离． 条件①：；  条件②：；  条件③：平面ABC⊥平面A1ACC1． 6．如图，在正四棱台中，，点P为棱上一点． (1)记棱锥，棱台的体积分别为，，当时，求； (2)若正四棱台的侧棱与底面所成角为，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值． 7．如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面平面，． (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值． 8．如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值. 9．如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O． (1)求证：平面ABCD； (2)求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值． 10．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面BDE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABE的距离． 11．在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 12．如图，在四棱锥中，平面上平面，已知底面为梯形，，，. (1)证明：. (2)若平面，，求点到平面的距离. 13．如图，直三棱柱中，，为上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值. 14．已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求二面角的余弦值． 15．已知三棱柱中，侧面是正方形，底面是等腰直角三角形，且为线段中点，. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角为，且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度. 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2)． （1）方法一： 因为底面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为ABCD为正方形，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点， 所以， 又因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC． 方法二： 因为底面ABCD，平面PAB， 所以平面底面ABCD 又平面底面，，平面ABCD， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点，所以． 因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC， 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC 解法三：因为底面ABCD，， 以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 设，则， 所以，，，， 设为平面AEF的法向量， 则所以取，则，， 则， 设为平面PBC的法向量， 则所以取，则， ， 则 因为，所以, 所以平面平面PBC. （2）（基于（1）解法一、二） 因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 易知是平面PAB的法向量 设，则，所以，， 所以 即，得，所以， 设为平面AEF的法向量，则 所以平面AEF的法向量， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． （另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角， 所以 解得，故F是BC的中点． 所以，， 的面积为 因为，的面积为 设点P到平面AEF的距离为h，则有 解得 所以点P到平面AEF的距离为． （