2024届高三数学一轮复习基础夯实练8：函数的奇偶性、周期性

基础夯实练8 函数的奇偶性、周期性 1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x) C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x 2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ＋f(2)等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 4．(2022·亳州模拟)已知函数f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lg π)，c＝f(log0.26)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a 5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 6．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 022)＝1 C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点 7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________. 8．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________． 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 12．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex，则f ，f ，f 从小到大的排列是________． 13．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝______，b＝______. 14．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． 参考答案 1．ABD　2.A　3.D　4.C　5.B　6.AC 7．cos 2x(答案不唯一)　8.(，＋∞) 9．解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x) ＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x ＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． 10．(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)解　f(0)＝0, f(1)＝1， f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3) ＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0. 11．C　[因为∀