第二部分 微专题 高考中的数学文化试题-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２５０　 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 数学文化篇 !"# 高考中的数学文化试题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏卷第６题）如图，在圆柱犗１犗２内有一个球犗，该球与圆 柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱犗１犗２的体积为犞１，球犗 的体积为 犞２，则 犞１ 犞２ 的值是　　　　　　． 【解】　本题以阿基米德的墓碑文为背景，是一道典型的数学文化题．追溯它的历史渊 源，古希腊数学家阿基米德的墓碑上，刻着一个“圆柱容球”几何图形，即圆柱里有个内切 球，球的直径恰好与圆柱的高相等．经过不懈的探究，阿基米德得到这样的结论：球的体积 是圆柱体积的２ ３ ，球的表面积是圆柱表面积的２ ３ ．这正是阿基米德引以为豪的发现．这不是 巧合，而是数学家通过不懈的探索获得的神奇美妙的结论，体现出数学文化的科学价值．本 题只需设球的半径为狉，则 犞１ 犞２ ＝ π狉 ２×２狉 ４ ３ π狉 ３ ＝ ３ ２ ．故答案为 ３ ２ ． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第１６题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之 一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半 正多面体（图１）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体 现了数学的对称美．图２是一个棱数为４８的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的 表面，且该正方体的棱长为１，则该半正多面体共有　　　　个面，其棱长为　　　　． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（数学文化篇） ２５１　 图１　　　　　　　　　　图２ 　　【解】　本题以“中国第一老丈人”独孤信（他有三个女儿，分别是北周、隋、唐三朝皇 后）的一枚外观独特、精致的印信考查了立体几何的计算，以及直观想象、数学运算等数学 核心素养．由题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后６个面都在正方体的表面 上，且该半正多面体的表面由１８个正方形、８个正三角形组成，因此题中的半正多面体共 有２６个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设该题中的半正多面体 的棱长为狓，则槡 ２ ２ 狓＋狓＋ 槡２ ２ 狓＝１，解得狓 槡＝２－１，故该题中的半正多面体的棱长为狓 槡＝２－１． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 以数学文化为背景考查相关数学知识 不同点 考查的频率 考查频率不高 近三年考查频率很高 考查的难度 难度较大 难度不大 考查的形式 隐性考查（２００８年阿波罗尼斯圆、２０１７ 年阿基米德“圆柱容球”） 显性考查（考查频率越来越高、范围越 来越广，高考数学试卷的数学文化味儿 越来越浓） 核心素养 直观想象、数学运算和逻辑推理 直观想象、数学建模、数学运算和逻辑 推理 点评 数学文化题囊括了中外古典名著中数学名题、数学史实、数学与生活、数学与其 他学科的交融等，命题方式主要有：引经据典、变设改问，沿用背景、拓展延伸， 数形结合、图文展示等．江苏卷没有显性考查过，但在近年的全国卷和各地高考 试卷中，数学文化题考查得很多，一般理科卷多于文科卷，通常在前几题中以选 择题的形式考查，以简单题或中档题呈现 二、例题导引 例１　《算数书》竹简于２０世纪８０年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有“菌盖”的术：置入其周，令相乘也．又以高乘之，三十六 成一．该术相当于给出了圆锥的底面周长犔与高犺，计算其体积犞≈ １ ３６ 犔２犺．实际上是将圆 新高考复习指南·数学  ２５２　 锥曲线中的圆周率π近似取为３，那么，近似公式犞≈ ２ ７５ 犔２犺相当于将圆锥体积公式中的π 近似取为（　　）． Ａ． ２２ ７ 　　　　　　Ｂ． ２５ ８ 　　　　　　Ｃ． １５７ ５０ 　　　　　　Ｄ． ３５５ １１３ 【详细解析】　设圆锥的底面半径为狉，则犔＝２π狉，即狉＝ 犔 ２π ，则圆锥的体积为犞＝ １ ３ π 犔 ２（ ）π ２ 犺＝ １ １２π 犔２犺，当犞＝ ２ ７５ 犔２犺时，π＝ ２５ ８ ．故选Ｂ． 【反思评析】　此题考查了圆锥的体积计算，较为简单．我国是世界文明古国，数学又是 我国古代的一门重要学科，数学文化源远流长、成就辉煌，拥有如《九章算术》《缀术》《数书 九章》《周髀算经》《孙子算经》等多部数学名著，出现过像刘徽、祖氏父子、杨辉、秦九昭等伟 大的数学家．其他古典著作中也藏有不少数学问题，从这些古典名著中取材命制高考试题， 可以使原本“枯燥生硬”的数学问题变得“有血有肉”“丰富多彩”． 例２　数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线犆： 狓２＋狔 ２＝１＋ 狓狔 就是其中之一（如图所示）．给出下列三个 结论：