第二部分 微专题九 实际生活中的概率决策问题-概率-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２４２　 !"#, 实际生活中的概率决策问题———概率 一、真题比较 （一）真题再现 １．江苏卷不考． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第２０题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱２００件，每一箱 产品在交付用户之前要对产品做检验，若检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从 这箱产品中任取２０件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验．设每件 产品为不合格品的概率都为狆（０＜狆＜１），且各件产品是否为不合格品相互独立． （１）记２０件产品中恰有２件不合格品的概率为犳（狆），求犳（狆）的最大值点狆０． （２）现对一箱产品检验了２０件，结果恰有２件不合格品，以（１）中确定的狆０ 作为狆的 值．已知每件产品的检验费用为２元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格 品支付２５元的赔偿费用． ① 若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为犡，求 犈（犡）； ② 以检验费用与赔偿费用和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 做检验？ 【解】　（１）因为２０件产品中恰有２件不合格品的概率为犳（狆）＝Ｃ ２ ２０狆 ２（１－狆） １８，所以 犳′（狆）＝Ｃ ２ ２０［２狆（１－狆） １８－１８狆 ２（１－狆） １７］＝２Ｃ２２０狆（１－狆） １７（１－１０狆）． 令犳′（狆）＝０，得狆＝０．１．当狆∈（０，０．１）时，犳′（狆）＞０；当狆∈（０．１，１）时，犳′（狆）＜０．所 以犳（狆）的最大值点为狆０＝０．１． （２）由（１）知狆＝０．１． ① 令犢 表示余下的１８０件产品中的不合格品件数，依题意知犢～犅（１８０，０．１），犡＝ ２０×２＋２５犢，即犡＝４０＋２５犢．所以犈（犡）＝犈（４０＋２５犢）＝４０＋２５犈（犢）＝４９０． ② 若对余下的产品做检验，则这一箱产品所需要的检验费用为４００元．由于犈（犡）＞ ４００，故应该对余下的产品做检验． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２４３　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 － 不同点 考查的频率 － 近几年考查频率较高 考查的难度 － 难度中等，常常以解答题形式呈现 考查的形式 － 多以相互独立事件的概率、随机变量的 期望、二项分布等作为载体，考查数据 处理能力、运算求解能力及数学的应用 与创新意识 核心素养 － 重点考查逻辑推理、数学建模、数学运 算、数据分析等核心素养 点评 － 求解此类问题的关键：一是认真读题， 读懂题意；二是善于利用公式求服从特 殊分布的离散型随机变量的分布列及 数学期望；三是善于利用数学期望值、 方差等解决决策性问题 二、例题导引 例１　某校设计了一个实验考察方案：考生从６道备选题中一次性随机抽取３题，按照 题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中２道题的便可通过．已知６道备 选题中考生甲有４道题能正确完成，２道题不能完成；考生乙每题能正确完成的概率都是 ２ ３ ，且每题正确完成与否互不影响． （１）求甲、乙两位考生正确完成的题数的概率分布列，并计算数学期望； （２）请分析比较甲、乙两位考生的实验操作能力． 【路径探析】　（１）首先利用排列组合的知识分别求解随机变量的分布列，再利用公式 求出数学期望；（２）通过数学期望和方差的关系进行决策． 【详细解析】　（１）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为犡，犢，则犡 的取值分 别为１，２，３；犢 的取值分别为０，１，２，３． 因为犘（犡＝１）＝ Ｃ１４Ｃ ２ ２ Ｃ３６ ＝ １ ５ ，犘（犡＝２）＝ Ｃ２４Ｃ １ ２ Ｃ３６ ＝ ３ ５ ，犘（犡＝３）＝ Ｃ３４Ｃ ０ ２ Ｃ３６ ＝ １ ５ ， 所以考生甲正确完成的题数的概率分布列为 犡 １ ２ ３ 犘 １ ５ ３ ５ １ ５ 犈（犡）＝１× １ ５ ＋２× ３ ５ ＋３× １ ５ ＝２． 新高考复习指南·数学  ２４４　 易知犘（犢＝０）＝Ｃ０３ １－（ ）２３ ３ ＝ １ ２７ ． 同理，犘（犢＝１）＝ ２ ９ ，犘（犢＝２）＝ ４ ９ ，犘（犢＝３）＝ ８ ２７ ． 所以考生乙正确完成的题数的概率分布列为 犢 ０ １ ２ ３ 犘 １ ２７ ２ ９ ４ ９ ８ ２７ 犈（犢）＝０× １ ２７ ＋１× ２ ９ ＋２× ４ ９ ＋３× ８ ２７ ＝２． （２）因为犞（犡）＝（２－１）２× １ ５ ＋（２－２）２× ３ ５ ＋（２－３）２× １ ５ ＝ ２ ５ ， 犞（犢）＝（２－０）２× １ ２７ ＋（２－１）２× ２ ９ ＋（２－２）２× ４ ９ ＋（２－３）２× ８ ２７ ＝ ２ ３ 或犞（犢）＝狀狆狇＝３× ２ ３ × １ ３ ＝（ ）２３ ， 所以犞（犡）＜犞（犢）． 因为 犘（犡≥２）＝ ３