第二部分 微专题八 实际生活中的概率决策问题-线性回归方程-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２３４　 !"#+ 实际生活中的概率决策问题———线性回归方程 一、真题比较 （一）真题再现 １．江苏卷不考． ２．（２０１５·全国Ⅰ卷理科第１９题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需 了解年宣传费狓（单位：千元）对年销售量狔（单位：ｔ）和年利润狕（单位：千元）的影响．对近 ８年的年宣传费狓犻和年销售量狔犻（犻＝１，２，…，８）数据做了初步处理，得到下面的散点图及 一些统计量的值． 狓 狔 狑 ∑ ８ 犻＝１ （狓犻－狓） ２ ∑ ８ 犻＝１ （狑犻－狑） ２ ∑ ８ 犻＝１ （狓犻－狓）（狔犻－狔） ∑ ８ 犻＝１ （狑犻－狑）（狔犻－狔） ４６．６ ５６３ ６．８ ２８９．８ １．６ １４６９ １０８．８ 　　注：表中狑犻＝ 狓槡犻，狑＝ １ ８∑ ８ 犻＝１ 狑犻． （１）根据散点图判断，狔＝犪＋犫狓与狔＝犮＋ 槡犱 狓哪一个适合作为年销售量狔关于年宣 传费狓的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （２）根据（１）的判断结果及表中数据，建立狔关于狓的回归方程． （３）已知这种产品的年利润狕与狓，狔的关系为狕＝０．２狔－狓．根据（２）的结果回答下列问题： ① 年宣传费狓＝４９时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ② 年宣传费狓为何值时，年利润的预报值最大？ ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２３５　 附：对于一组数据（狌１，狏１），（狌２，狏２），…，（狌狀，狏狀），其回归直线狏＝α＋β狌的斜率和截距 的最小二乘估计分别为β ＾＝ ∑ 狀 犻＝１ （狌犻－狌）（狏犻－狏） ∑ 狀 犻＝１ （狌犻－狌） ２ ，α^＝狏－β狌^． 【解】　（１）由散点图可以判断，狔＝犮＋ 槡犱 狓适宜作为年销售量狔关于年宣传费狓的回 归方程类型． （２）令狑＝槡狓，先建立狔关于狑 的线性回归方程． 由于 犱 ＾ ＝ ∑ ８ 犻＝１ （狑犻－狑）（狔犻－狔） ∑ ８ 犻＝１ （狑犻－狑） ２ ＝ １０８．８ １．６ ＝６８， 犮^＝狔－犱 ＾ 狑＝５６３－６８×６．８＝１００．６， 所以狔关于狑 的线性回归方程为狔^＝１００．６＋６８狑． 因此狔关于狓的回归方程为狔^＝１００．６＋６８槡狓． （３）① 由（２）知，当狓＝４９时， 年销售量狔的预报值狔^＝１００． 槡６＋６８ ４９＝５７６．６， 年利润狕的预报值狕^＝５７６．６×０．２－４９＝６６．３２． ② 根据（２）的结果知，年利润狕的预报值 狕^＝０．２（１００．６＋６８槡狓）－狓＝－狓＋１３．６槡狓＋２０．１２． 所以当槡狓＝ １３．６ ２ ＝６．８，即狓＝４６．２４时，狕^取得最大值． 故年宣传费为４６．２４千元时，年利润的预报值最大． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 － 不同点 考查的频率 － 近几年考查频率较高 考查的难度 － 多以中档题形式呈现 考查的形式 － 考查利用散点图判断回归方程的方法、 求回归方程，以及利用回归方程进行分 析与预测等相关知识 核心素养 － 重点考查逻辑推理、数学抽象、数学运 算等核心素养 点评 － 考查的知识比较琐碎，要学会利用表中 的数据以及回归分析的方法求出回归 方程，再代入数据进行分析与预测 新高考复习指南·数学  ２３６　 二、例题导引 例１　某研究机构对高三学生的记忆力狓和判断力狔 进行统计分析，得出下表中的 数据． 狓 ６ ８ １０ １２ 狔 ２ ３ ５ ６ 　　（１）请画出上表中数据的散点图； （２）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出狔关于狓的线性回归方程狔^＝犫^狓＋犪^； （３）试根据（２）求出的线性回归方程，预测记忆力为７的同学的判断力． 【路径探析】　先利用公式求线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测． 【详细解析】　（１）散点图如图所示． （２）狓＝ ６＋８＋１０＋１２ ４ ＝９，狔＝ ２＋３＋５＋６ ４ ＝４， 犫 ＾ ＝ ∑ ４ 犻＝１ （狓犻－狓）（狔犻－狔） ∑ ４ 犻＝１ （狓犻－狓） ２ ＝ １４ ２０ ＝０．７， 犪^＝狔－犫 ＾ 狓＝４－０．７×９＝－２．３， 故线性回归方程为狔^＝０．７狓－２．３． （３）由（２）中线性回归方程知，当狓＝７时， 狔^＝０．７×７－２．３＝２．６， 故预测记忆力为７的同学的判断力约为２．６． 【反思评析】　（１）对于一组具有线性相关关系的数据（狓１，狔１），（狓２，狔２），…，（狓狀，狔狀）， 设其回归直线方程为狔^＝犫 ＾ 狓＋犪^，其中犪^，犫 ＾是待定参数，由最小二乘法得 犫 ＾ ＝ ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓）（狔犻－狔） ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓） ２ ＝ ∑ 狀 犻＝１ 狓犻狔犻－狀狓狔 ∑ 狀 犻＝１ 狓２犻 －狀狓 ２ ， 犪^＝狔