第二部分 微专题七 离散型随机事件概率分布-正态分布-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２２７　 !"#* 离散型随机事件概率分布———正态分布 一、真题比较 （一）真题再现 １．江苏卷不考． ２．（２０１７·全国Ⅰ卷理科第１９题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验 员每天从该生产线上随机抽取１６个零件，并测量其尺寸（单位：ｃｍ）．根据长期的生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布犖（μ，σ ２）． （１）假设生产状态正常，记犡表示一天内抽取的１６个零件中其尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ） 之外的零件数，求犘（犡≥１）及犡的数学期望． （２）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的零件，就认为这条 生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ① 试说明上述监控生产过程的方法的合理性； ② 下面是检验员在一天内抽取的１６个零件的尺寸： ９．９５ １０．１２ ９．９６ ９．９６ １０．０１ ９．９２ ９．９８ １０．０４ １０．２６ ９．９１ １０．１３ １０．０２ ９．２２ １０．０４ １０．０５ ９．９５ 　　 经计算得狓＝ １ １６∑ １６ 犻＝１ 狓犻＝９．９７，狊＝ １ １６∑ １６ 犻＝１ （狓犻－狓）槡 ２ ＝ １ １６ （∑ １６ 犻＝１ 狓犻 ２ －１６狓 ２ 槡 ）≈０．２１２，其 中狓犻为抽取的第犻个零件的尺寸，犻＝１，２，…，１６． 用样本平均数狓作为μ的估计值μ^，用样本标准差狊作为σ的估计值σ^，利用估计值判断 是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外的数据，用剩下的数据估计 μ和σ（精确到０．０１）． 附：若随机变量犣服从正态分布犖（μ，σ ２），则犘（μ－３σ＜犣＜μ＋３σ）＝０．９９７４，０．９９７４ １６ ≈ ０．９５９２，０．槡 ００８≈０．０９． 【解】　（１）抽取的一个零件的尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之内的概率为０．９９７４，从而零件 的尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的概率为０．００２６，故犡～犅（１６，０．００２６）． 新高考复习指南·数学  ２２８　 因此犘（犡≥１）＝１－犘（犡＝０）＝１－０．９９７４ １６ ≈０．０４０８． 犡的数学期望犈（犡）＝１６×０．００２６＝０．０４１６． （２）① 如果生产状态正常，一个零件的尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的概率只有０．００２６， 一天内抽取的１６个零件中，出现尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的零件的概率只有０．０４０８，发 生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可 能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合 理的． ② 由狓＝９．９７，狊≈０．２１２，得μ的估计值为μ^＝９．９７，σ的估计值为σ^＝０．２１２．由样本数 据可以看出有一个零件的尺寸在（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外，因此需对当天的生产过程进行 检查． 剔除（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外的数据９．２２，剩下数据的平均数为 １ １５ ×（１６×９．９７－９．２２）＝ １０．０２．因此μ的估计值为１０．０２． ∑ １６ 犻＝１ 狓２犻 ＝１６×０．２１２ ２ ＋１６×９．９７ ２ ≈１５９１．１３４． 剔除（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外的数据９．２２，剩下数据的样本方差为 １ １５ ×（１５９１．１３４－ ９．２２２－１５×１０．０２２）≈０．００８，因此σ的估计值为 ０．槡 ００８≈０．０９． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 － 不同点 考查的频率 － 近几年中２０１４年、２０１７年以解答题形 式呈现 考查的难度 － 难度中等，常常以中等题形式呈现 考查的形式 － 多以日常生活实例为背景，重点考查正 态分布的概率计算及正态分布的应用 核心素养 － 重点考查数学抽象、数学运算等核心 素养 点评 － 考查的内容主要是对正态分布的理解 及应用 二、例题导引 例１　（１）设两个正态分布犖（μ１，σ ２ １）（σ１＞０）和犖（μ２，σ ２ ２）（σ２＞０）的密度函数的图象 如图所示，则有（　　）． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２２９　 　　Ａ．μ１＜μ２，σ１＜σ２　　　　　　　　　　Ｂ．μ１＜μ２，σ１＞σ２ Ｃ．μ１＞μ２，σ１＜σ２ Ｄ．μ１＞μ２，σ１＞σ２ （２）如果正态总体的数据落在（－３，－１）内的概率和落在（３，５）内的概率相等，那么这 个正态总体的数学期望是（　　）． Ａ．０　　　　　　　Ｂ．１　　　　　　　Ｃ．２　　　　　　　Ｄ．３ 【路径探析】　利用正态分布中两个量的几何意义直接得出结果． 【详细解析】　（１）因为μ反映的是正态分布的平均水