第二部分 微专题六 离散型随机事件概率分布-二项分布-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２２０　 !"#) 离散型随机事件概率分布———二项分布 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏南通高三考前练习）甲、乙、丙、丁四名同学志愿到Ａ，Ｂ两个社区进行 服务，他们每人将一枚质地均匀的骰子抛掷一次．若向上的点数为５或６，则该同学去Ａ社 区，否则去Ｂ社区． （１）求甲、乙、丙、丁四名同学中恰有１人去Ａ社区的概率； （２）设犡表示去Ａ社区的人数，Ｙ表示去Ｂ社区的人数，记ξ＝犡·犢，求随机变量ξ 的概率分布列和数学期望． 【解】　（１）由题意可知，每名同学去Ａ社区的概率为 １ ３ ，去Ｂ社区的概率为 ２ ３ ． 所以甲、乙、丙、丁四名同学中恰有１人去Ａ社区的概率为Ｃ１４×（ ）２３ ３ ＝ ３２ ８１ ． （２）ξ的所有可能取值为０，３，４． 犘（ξ＝０）＝（ ）１３ ４ ＋（ ）２３ ４ ＝ １７ ８１ ， 犘（ξ＝３）＝Ｃ １ ４× １ ３ ×（ ）２３ ３ ＋Ｃ３４×（ ）１３ ３ × ２ ３ ＝ ４０ ８１ ， 犘（ξ＝４）＝Ｃ ２ ４×（ ）１３ ２ ×（ ）２３ ２ ＝ ８ ２７ ． 所以ξ的概率分布列为 ξ ０ ３ ４ 犘 １７ ８１ ４０ ８１ ８ ２７ 　　故数学期望犈（ξ）＝０× １７ ８１ ＋３× ４０ ８１ ＋４× ８ ２７ ＝ ８ ３ ． ２．（２０１４·全国Ⅰ卷理科第２０题）设每个工作日甲、乙、丙、丁４人需使用某种设备的 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２２１　 概率分别为０．６，０．５，０．５，０．４，各人是否需使用设备相互独立． （１）求同一工作日至少有３人需使用设备的概率； （２）设犡表示同一工作日需使用设备的人数，求犡的数学期望． 【解】　记犃犻（犻＝０，１，２）表示事件“同一工作日乙、丙中恰有犻人需使用设备”，犅表示 事件“甲需使用设备”，犆表示事件“丁需使用设备”，犇表示事件“同一工作日至少有３人需 使用设备”． （１）犇＝（犃１犅犆）∪（犃２犅）∪（犃２珚犅犆）． 又犘（犅）＝０．６，犘（犆）＝０．４，犘（犃犻）＝Ｃ 犻 ２×０．５ ２（犻＝０，１，２）， 所以犘（犇）＝犘［（犃１犅犆）∪（犃２犅）∪（犃２珚犅犆）］ ＝犘（犃１犅犆）＋犘（犃２犅）＋犘（犃２珚犅犆） ＝犘（犃１）犘（犅）犘（犆）＋犘（犃２）犘（犅）＋犘（犃２）犘（珚犅）犘（犆）＝０．３１． （２）犡的可能取值为０，１，２，３，４． 犘（犡＝０）＝犘（犅犃０犆）＝犘（犅）犘（犃０）犘（犆）＝（１－０．６）×０．５ ２×（１－０．４）＝０．０６， 犘（犡＝１）＝犘［（犅犃０犆）∪（犅犃０犆）∪（犅犃１犆）］ ＝犘（犅）犘（犃０）犘（犆）＋犘（犅）犘（犃０）犘（犆）＋犘（犅）犘（犃１）犘（犆） ＝０．６×０．５２×（１－０．４）＋（１－０．６）×０．５２×０．４＋（１－０．６）×２×０．５２× 　（１－０．４） ＝０．２５， 犘（犡＝４）＝犘（犃２犅犆）＝犘（犃２）犘（犅）犘（犆）＝０．５ ２×０．６×０．４＝０．０６， 犘（犡＝３）＝犘（犇）－犘（犡＝４）＝０．２５， 犘（犡＝２）＝１－犘（犡＝０）－犘（犡＝１）－犘（犡＝３）－犘（犡＝４）＝１－０．０６－０．２５－ 　０．２５－０．０６ ＝０．３８． 所以数学期望 犈（犡）＝０×犘（犡＝０）＋１×犘（犡＝１）＋２×犘（犡＝２）＋３×犘（犡＝３）＋４×犘（犡＝４） ＝０．２５＋２×０．３８＋３×０．２５＋４×０．０６＝２． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 多以相互独立事件的概率分布作为考点，单独考二项分布的题型较少，都以基 础题和中档题形式呈现 不同点 考查的形式 主要考查排列组合、相互独立事件等 基础知识 不仅考查排列组合、相互独立事件等基 础知识，还综合考查数学期望、方差在 实际问题中的应用 新高考复习指南·数学  ２２２　 续表 试卷类别 江苏卷 全国卷 不同点 核心素养 重点考查逻辑推理、数据分析、数学运 算等核心素养 重点考查逻辑推理、数据分析、数学运 算、数学抽象等核心素养 点评 重点考查相互独立事件的概率运算及 二项分布的模型 在考查相互独立事件的概率运算及二 项分布模型的基础上，加大了对数学期 望和方差的考查 二、例题导引 例１　为了培养学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活 中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本 课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是 等可能的． （１）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （２）设犡为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求犡的分布列． 【路径探析】　首先利用排列组合的知识求解古典概型的概率