第二部分 微专题五 离散型随机事件概率分布-超几何分布-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２１３　 !"#( 离散型随机事件概率分布———超几何分布 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏卷第２３题）已知一个口袋中有犿个白球、狀个黑球（犿，狀∈犖，狀≥２）， 这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为１， ２，３，…，犿＋狀的抽屉内，其中第犽次取出的球放入编号为犽的抽屉（犽＝１，２，３，…，犿＋狀）． １ ２ ３ … 犿＋狀 　　（１）试求编号为２的抽屉内放的是黑球的概率狆； （２）随机变量犡表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，犈（犡）是犡 的数学期 望，证明：犈（犡）＜ 狀 （犿＋狀）（狀－１） ． 【解】　（１）编号为２的抽屉内放的是黑球的概率犘＝ Ｃ狀－１犿＋狀－１ Ｃ狀犿＋狀 ＝ 狀 犿＋狀 ． （２）随机变量犡的概率分布为 犡 １ 狀 １ 狀＋１ １ 狀＋２ … １ 犽 … １ 犿＋狀 犘 Ｃ狀－１狀－１ Ｃ狀犿＋狀 Ｃ狀－１狀 Ｃ狀犿＋狀 Ｃ狀－１狀＋１ Ｃ狀犿＋狀 … Ｃ 狀－１ 犽－１ Ｃ狀犿＋狀 … Ｃ 狀－１ 狀＋犿－１ Ｃ狀犿＋狀 　　随机变量犡的期望为 犈（犡）＝∑ 犿＋狀 犽＝狀 １ 犽 ·Ｃ 狀－１ 犽－１ Ｃ狀犿＋狀 ＝ １ Ｃ狀犿＋狀∑ 犿＋狀 犽＝狀 １ 犽 · （犽－１）！ （狀－１）！（犽－狀）！ ． 所以犈（犡）＜ １ Ｃ狀犿＋狀∑ 犿＋狀 犽＝狀 （犽－２）！ （狀－１）！（犽－狀）！ ＝ １ （狀－１）Ｃ 狀 犿＋狀 ∑ 犿＋狀 犽＝狀 （犽－２）！ （狀－２）！（犽－狀）！ ＝ １ （狀－１）Ｃ狀犿＋狀 （１＋Ｃ狀－２狀－１＋Ｃ 狀－２ 狀 ＋…＋Ｃ 狀－２ 犿＋狀－２） 新高考复习指南·数学  ２１４　 ＝ １ （狀－１）Ｃ狀犿＋狀 （Ｃ狀－１狀－１＋Ｃ 狀－２ 狀－１＋Ｃ 狀－２ 狀 ＋…＋Ｃ 狀－２ 犿＋狀－２） ＝ １ （狀－１）Ｃ狀犿＋狀 （Ｃ狀－１狀 ＋Ｃ 狀－２ 狀 ＋…＋Ｃ 狀－２ 犿＋狀－２） ＝…＝ １ （狀－１）Ｃ狀犿＋狀 （Ｃ狀－１犿＋狀－２＋Ｃ 狀－２ 犿＋狀－２） ＝ Ｃ狀－１犿＋狀－１ （狀－１）Ｃ狀犿＋狀 ＝ 狀 （犿＋狀）（狀－１） ， 即犈（犡）＜ 狀 （犿＋狀）（狀－１） ． ２．（２０１８·天津卷理科第１６题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ２４，１６，１６．现采用分层抽样的方法从中抽取７人，进行睡眠时间的调查． （１）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （２）若抽出的７人中有４人睡眠不足，３人睡眠充足，现从这７人中随机抽取３人做进 一步的身体检查． ① 用犡表示抽取的３人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 犡 的分布列与数学 期望； ② 设犃为事件“抽取的３人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 犃发生的概率． 【解】　 （１）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为３∶２∶２，由于采用分层抽样 的方法从中抽取７人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取３人、２人、２人． （２）① 随机变量犡的所有可能取值为０，１，２，３．所以 犘（犡＝０）＝ Ｃ３３ Ｃ３７ ＝ １ ３５ ，犘（犡＝１）＝ Ｃ１４Ｃ ２ ３ Ｃ３７ ＝ １２ ３５ ， 犘（犡＝２）＝ Ｃ２４Ｃ １ ３ Ｃ３７ ＝ １８ ３５ ，犘（犡＝３）＝ Ｃ３４ Ｃ３７ ＝ ４ ３５ ． 所以随机变量犡的分布列为 犡 ０ １ ２ ３ 犘 １ ３５ １２ ３５ １８ ３５ ４ ３５ 　　随机变量犡的数学期望犈（犡）＝０× １ ３５ ＋１× １２ ３５ ＋２× １８ ３５ ＋３× ４ ３５ ＝ １２ ７ ． ② 设事件犅为“抽取的３人中，睡眠充足的员工有１人，睡眠不足的员工有２人”，事 件犆为“抽取的３人中，睡眠充足的员工有２人，睡眠不足的员工有１人”，则犃＝犅∪犆，且 犅与犆互斥． 由①知犘（犅）＝犘（犡＝２），犘（犆）＝犘（犡＝１）． 故犘（犃）＝犘（犅∪犆）＝犘（犡＝２）＋犘（犡＝１）＝ ６ ７ ． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２１５　 所以事件犃发生的概率为 ６ ７ ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷（近几年未考） 共同点 超几何分布的基本模型 不同点 考查的频率 考查的次数比较少 近几年没有涉及超几何分布的题型 考查的难度 难度较大，以压轴题形式出现 － 考查的形式 主要考查超几何分布的概率运算及综 合利用实际模型求解与组合恒等式相 关的内容 － 核心素养 重点考查逻辑推理、数学运算等核心 素养 － 点评 重点是清楚超几何分布模型所具备的 特征，难点是与组合恒等式结合的综 合问题 作为一种常见的概率模型，虽然近几年 全国卷中没有考查，但是不能忽视，需 要掌握基本解