第二部分 微专题四 互斥事件与独立事件的概率-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２０７　 !"#' 互斥事件与独立事件的概率 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２００５·江苏卷第２０题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 ２ ３ 和３ ４ ．假 设两人是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间没有影响． （１）求甲射击４次，至少１次未击中目标的概率； （２）求两人各射击４次，甲恰好击中目标２次且乙恰好击中目标３次的概率； （３）假设某人连续２次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击５次后被中止射击的 概率是多少？ 【解】　（１）记“甲连续射击４次至少有一次未击中目标”为事件犃１，由题意知，射击 ４次，相当于做４次独立重复试验，故犘（犃１）＝１－犘（犃１）＝１－（ ）２３ ４ ＝ ６５ ８１ ． 答：甲连续射击４次，至少有一次未击中目标的概率为 ６５ ８１ ． （２）记“甲射击４次，恰有２次击中目标”为事件犃２，“乙射击４次，恰有３次击中目标” 为事件犅２，则犘（犃２）＝Ｃ ２ ４·（ ）２３ ２ · １－（ ）２３ ２ ＝ ８ ２７ ，犘（犅２）＝Ｃ ３ ４·（ ）３４ ３ · １－（ ）３４ ＝ ２７ ６４ ． 由于甲、乙射击相互独立，故犘（犃２犅２）＝犘（犃２）犘（犅２）＝ ８ ２７ × ２７ ６４ ＝ １ ８ ． 答：两人各射击４次，甲恰有２次击中目标且乙恰有３次击中目标的概率为 １ ８ ． （３）记“乙恰好射击５次后被中止射击”为事件犃３，“乙第犻次射击未中”为事件犇犻（犻＝ １，２，３，４，５），则犃３＝犇５·犇４·犇３·犇２犇１，且犘（犇犻）＝ １ ４ ． 由于各事件彼此独立，故犘（犃３）＝犘（犇５）·犘（犇４）·犘（犇３）·犘（犇２犇１）＝ １ ４ × １ ４ × ３ ４ × １－ １ ４ ×（ ）１４ ＝ ４５ １０２４ ． 新高考复习指南·数学  ２０８　 答：乙恰好射击５次后被中止射击的概率为 ４５ １０２４ ． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第１５题）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队 赢得四场时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主、主、 客、客、主、客、主”．设甲队主场取胜的概率为０．６，客场取胜的概率为０．５，且各场比赛结果 相互独立，则甲队以４∶１获胜的概率是　　　　　　． 【解】　事件“甲队以４∶１获胜”就是要比赛５场，甲队赢４场，且第５场甲队赢，则前 ４场甲队赢３场，输１场．依次考虑甲在第１，２，３，４场输这四种情况．所以甲队以４∶１获胜 的概率是０．６×（０．６２×０．５２×２＋０．６×０．４×０．５２×２）＝０．１８． 变题：求甲队获胜的概率． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件发生的概率，考查逻辑思维能 力、运算求解能力 不同点 考查的频率 从２００８年至今，高考中从未考查过， 只在２００８年之前考查过 近几年考查频率较高 考查的难度 容易题或中等题 中等题或难题 考查的形式 以解答题第二题的形式呈现 以客观题和主观题形式呈现 核心素养 数学建模、逻辑推理 逻辑推理、数学运算 点评 课标要求 理解互斥事件与独立事件，要求对所学知识有较深刻的认识和理解，并能解决 有一定综合性的问题 知识要求 所有关于复杂事件的问题都是以互斥事件和独立事件为基础的，是互斥事件和 独立事件的和事件 二、例题导引 例１　１１分制乒乓球比赛，每赢一球得１分，当某局打成１０∶１０平后，每球交换发球 权，先多得２分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲 得分的概率为０．５，乙发球时甲得分的概率为０．４，各球的结果相互独立．在某局双方１０∶１０ 平后，甲先发球，两人又打了犡个球后该局比赛结束． （１）求犘（犡＝２）； （２）求事件“犡＝４，且甲获胜”的概率． 【路径探析】　（１）概率问题常常与实际问题结合在一起考查，所以要认真读题，理解 题意是关键．事件“犡＝２”是又打了２个球后比赛结束，即事件“犡＝２”是“甲连赢２个球或 乙连赢２个球”，然后计算出每种事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２０９　 （２）事件“犡＝４，且甲获胜”是指“前２个球甲、乙各得１分，后２个球均为甲得分”，由 事件“第一个球甲得分，第二个球乙得分，第三、四个球甲得分”与事件“第一个球乙得分，第 二个球甲得分，第三、四个球甲得分”是互斥事件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公 式计算即可． 【详细解析】　（１）事件“犡＝２”就是１０∶１０平后，两人又打了２个球该局比赛结束，则这 ２个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此犘（犡＝２）＝０．５×０