第二部分 微专题三 古典概型-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２０２　 !"#& 古典概型 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第６题）从３名男生和２名女生中任选２名参加志愿者服务，则选 出的２名中至少有１名女生的概率是　　　　　　． 【解】　从３名男生和２名女生中任选２名参加志愿者服务，共有Ｃ ２ ５＝１０种情况． 若选出的２名学生中恰有１名女生，则有Ｃ１３Ｃ １ ２＝６种情况； 若选出的２名学生都是女生，则有Ｃ２２＝１种情况． 所以所求的概率为６＋１ １０ ＝ ７ １０ ． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第６题）我国古代典籍《周易》用“卦” 描述万物的变化．每一重卦由从下到上排列的６个爻组成，爻分为 阳爻“———”和阴爻“— —”．如右图所示就是一重卦．在所有重卦中 随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是（　　）． Ａ． ５ １６ 　　　　　　　　　　　Ｂ． １１ ３２ Ｃ． ２１ ３２ Ｄ． １１ １６ 【解】　由题意知，每一爻有２种情况，一重卦由６个爻组成，共有２ ６ 种情况，其中６个 爻中恰有３个阳爻的情况有Ｃ３６种，所以该重卦恰有３个阳爻的概率为 Ｃ３６ ２６ ，故选Ａ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 运用计数原理、排列组合知识求解古典概型问题 不同点 考查的频率 从２００８年至今，除了２０１７年考查的 是几何概型外，其余年份都考查的是 古典概型 每一两年会考查一次，古典概型和几何 概型交替考查 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） ２０３　 续表 试卷类别 江苏卷 全国卷 不同点 考查的难度 难度较小，常常以基础题形式呈现 难度不大，常常以基础题和中等题形式 呈现 考查的形式 主要考查古典概型概率的基本求解方 法，以列举法为主，一一列举等可能的 基本事件，再求概率 主要考查利用两个计数原理与排列组 合知识计算古典概型问题，对排列组合 知识有一定的要求，渗透了传统数学文 化，强调知识的应用性 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理、数学运算、数据分析 点评 因为是文理科同卷，文科考生没有学 过排列组合知识，故重点考查列举法 及古典概型概率的求解方法 不仅考查古典概型概率的求解方法，还 涉及排列组合的综合应用，试题背景与 日常生活及传统文化、其他学科贴近， 对学生的阅读与理解、概率模型识别与 计算要求较高 二、例题导引 例１　袋中有形状、大小都相同的４只球，其中１只白球、１只红球、２只黄球，从中一次 随机摸出２只球，则这２只球颜色不同的概率为　　　　　　． 【路径探析】　这是典型的古典概型问题，根据公式，先求所有基本事件的个数，再求事 件“这２只球颜色不同”中包含的基本事件的个数，最后求得概率． 【详细解析】　设取出的２只球颜色不同为事件犃．基本事件有：（白，红），（白，黄）， （白，黄），（红，黄），（红，黄），（黄，黄），共６种，事件犃包含５种，故犘（犃）＝ ５ ６ ． 【反思评析】　求古典概型概率的步骤：（１）判断本试验的结果是否为等可能事件，设 出所求事件犃；（２）分别求出基本事件的总数狀与所求事件犃 中所包含的基本事件个数 犿；（３）利用公式犘（犃）＝ 犿 狀 ，求出事件犃的概率．本例中，若将４只球改为颜色相同，标号 分别为１，２，３，４的４只小球，从中一次取２只球，求标号和为奇数的概率．此时基本事件数 仍为６．设标号和为奇数为事件犃，则犃包含的基本事件为（１，２），（１，４），（２，３），（３，４），共４ 种，所以犘（犃）＝ ４ ６ ＝ ２ ３ ．本例中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取的球颜色 相同的概率，则基本事件数为Ｃ１４Ｃ １ ４＝１６，颜色相同的事件数为Ｃ １ ２Ｃ １ １＋Ｃ １ ２Ｃ １ ２＝６，所求概率为 ６ １６ ＝ ３ ８ ． 所以求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数以及事件犃包含的基本事 件的个数，这就需要正确列出基本事件．基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图 法，要注意区分元素是否相同，是无放回还是有放回，是有序还是无序．具体应用时可根据 新高考复习指南·数学  ２０４　 需要灵活选择． 例２　某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活 动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转 动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为狓，狔．奖励 规则如下： ａ．若狓狔≤３，则奖励玩具一个； ｂ．若狓狔≥８，则奖励水杯一个； ｃ．其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （１）求小亮获得玩具的概率； （２）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 【路径探析】　解决问题的关键是要将事件“狓狔≤３”“狓狔≥８”进行等价转化