第二部分 微专题二 二项式定理-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） １９７　 !"#% 二项式定理 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第２２题）设（１＋狓）狀＝犪０＋犪１狓＋犪２狓 ２＋…＋犪狀狓 狀，狀≥４，狀∈犖．已 知犪２３＝２犪２犪４． （１）求狀的值； （２）设（ 槡１＋ ３） 狀＝犪＋犫槡３，其中犪，犫∈犖，求犪 ２－３犫２的值． 【解】　（１）因为（１＋狓） 狀＝Ｃ０狀＋Ｃ １ 狀狓＋Ｃ ２ 狀狓 ２＋…＋Ｃ狀狀狓 狀，狀≥４，所以 犪２＝Ｃ ２ 狀＝ 狀（狀－１） ２ ，犪３＝Ｃ ３ 狀＝ 狀（狀－１）（狀－２） ６ ， 犪４＝Ｃ ４ 狀＝ 狀（狀－１）（狀－２）（狀－３） ２４ ． 因为犪２３＝２犪２犪４，所以 狀（狀－１）（狀－２）［ ］６ ２ ＝２× 狀（狀－１） ２ × 狀（狀－１）（狀－２）（狀－３） ２４ ，解得 狀＝５． （２）由（１）知狀＝５． （ 槡１＋ ３） 狀＝（ 槡１＋ ３） ５＝Ｃ０５＋Ｃ １ ５槡３＋Ｃ ２ ５（槡３） ２＋Ｃ３５（槡３） ３＋Ｃ４５（槡３） ４＋Ｃ５５（槡３） ５ ＝犪＋犫槡３． 方法一 因为犪，犫∈犖，所以犪＝Ｃ ０ ５＋３Ｃ ２ ５＋９Ｃ ４ ５＝７６，犫＝Ｃ １ ５＋３Ｃ ３ ５＋９Ｃ ５ ５＝４４． 从而犪２－３犫２＝７６２－３×４４２＝－３２． 方法二 （ 槡１－ ３） ５＝Ｃ０５＋Ｃ １ ５（ 槡－ ３）＋Ｃ ２ ５（ 槡－ ３） ２＋Ｃ３５（ 槡－ ３） ３＋Ｃ４５（ 槡－ ３） ４＋Ｃ５５（ 槡－ ３） ５ ＝Ｃ０５－Ｃ １ ５槡３＋Ｃ ２ ５（槡３） ２－Ｃ３５（槡３） ３＋Ｃ４５（槡３） ４－Ｃ５５（槡３） ５． 因为犪，犫∈犖，所以（ 槡１－ ３） ５＝犪－犫槡３． 新高考复习指南·数学  １９８　 因此犪２－３犫２＝（犪＋犫槡３）（犪－犫槡３）＝（ 槡１＋ ３） ５×（ 槡１－ ３） ５＝（－２）５＝－３２． ２．（２０１７·全国Ⅰ卷理科第６题）１＋ １ 狓（ ）２ （１＋狓）６的展开式中狓２的系数为（　　）． Ａ．１５　　　　　　　Ｂ．２０　　　　　　　Ｃ．３０　　　　　　　Ｄ．３５ 【解】　因为 １＋ １ 狓（ ）２ （１＋狓）６＝１·（１＋狓）６＋ １ 狓２ ·（１＋狓）６，则（１＋狓）６的展开式中含 狓２的项为１·Ｃ２６狓 ２＝１５狓２， １ 狓２ ·（１＋狓）６的展开式中含狓２的项为 １ 狓２ ·Ｃ４６狓 ４＝１５狓２，故狓２的 系数为１５＋１５＝３０，选Ｃ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 二项式定理的应用 不同点 考查的频率 作为附加题考查，考查频率偏低 一般以填空题形式考查，频率较高 考查的难度 难度大，常常以压轴题形式呈现 难度相对较小，以基础题和中档题形式 呈现 考查的形式 主要考查二项式定理的综合应用，包 括展开式中的特殊项、项的系数等，常 常与组合数的性质综合起来考查 主要考查二项展开式中的特定项或特 定项的系数问题、二项式系数和与各项 系数和的求法 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理、数学运算 点评 重点考查二项展开式的系数的性质与 组合数的性质的综合应用，考查特殊 法、构造法等数学方法，得分率一般 较低 考查的方法比较常规，题型也比较常 见，一般得分率较高 二、例题导引 例１　在二项式 槡狓＋ １ ２ ４ 槡 （ ） 狓 狀 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二 项式系数最大的项为　　　　． 【路径探析】　求二项展开式中的特定项，一般是直接利用通项公式，化简通项公式后， 令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数 狉＋１，代回通项公式即可． 【详细解析】　由已知可得二项展开式的前三项的系数分别是１， 狀 ２ ，１ ８ 狀（狀－１），则 ２· 狀 ２ ＝１＋ １ ８ 狀（狀－１），解得狀＝８或狀＝１（舍去）． 由狀＝８，则展开式中共９项，故中间一项即第５项的二项式系数最大且为 ３５ ８ 狓． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） １９９　 【反思评析】　求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项犜狉＋１＝Ｃ 狉 狀犪 狀－狉犫狉 的特点， 一般需要建立方程求狉，再将狉的值代回通项求解，注意狉的取值范围（狉＝０，１，２，…，狀）． （１）第犿项：此时狉＋１＝犿，直接代入通项． （２）常数项：即该项中不含变元，令通项中变元的幂指数为０，建立方程． （３）有理项：令通项中变元的幂指数为整数，建立方程． （４）二项式系数最大的项的确定方法： ① 如果狀是偶数，则中间一项 狀 ２（ ）＋１ 的二项式系数最大； ② 如果狀是奇数，则中间两项 狀＋１ ２ ，狀＋１ ２（ ）＋１ 的二项式系数相等且为最大． 例２　在（２