第二部分 微专题一 排列组合-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １９２　 檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 概 率 篇 !"#$ 排列组合 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１４·江苏卷第２２题）盒中共有９个球，其中有４个红球、３个黄球和２个绿球， 这些球除颜色外完全相同． （１）从盒中一次随机取出２个球，求取出的２个球颜色相同的概率犘； （２）从盒中一次随机取出４个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为狓１，狓２，狓３，随 机变量犡表示狓１，狓２，狓３ 中的最大数，求犡的概率分布和数学期望犈（犡）． 【解】　（１）取到２个颜色相同的球可能是２个红球、２个黄球或２个绿球， 所以犘＝ Ｃ２４＋Ｃ ２ ３＋Ｃ ２ ２ Ｃ２９ ＝ ６＋３＋１ ３６ ＝ ５ １８ ． （２）随机变量犡所有可能的取值为２，３，４． ｛犡＝４｝表示的随机事件是“取到的４个球是４个红球”，故犘（犡＝４）＝ Ｃ４４ Ｃ４９ ＝ １ １２６ ； ｛犡＝３｝表示的随机事件是“取到的４个球是３个红球和１个其他颜色的球，或３个黄 球和１个其他颜色的球”，故犘（犡＝３）＝ Ｃ３４Ｃ １ ５＋Ｃ ３ ３Ｃ １ ６ Ｃ４９ ＝ ２０＋６ １２６ ＝ １３ ６３ ． 于是犘（犡＝２）＝１－犘（犡＝３）－犘（犡＝４）＝１－ １３ ６３ － １ １２６ ＝ １１ １４ ． 所以随机变量犡的概率分布如下表所示： 犡 ２ ３ ４ 犘 １１ １４ １３ ６３ １ １２６ 　　因此随机变量犡的数学期望 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（概率篇） １９３　 犈（犡）＝２× １１ １４ ＋３× １３ ６３ ＋４× １ １２６ ＝ ２０ ９ ． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第１５题）从２位女生、４位男生中选３人参加科技比赛，且至 少有１位女生入选，则不同的选法共有　　　　种．（用数字填写答案） 【解】　根据题意，没有女生入选，有Ｃ ３ ４＝４种选法．从６名学生中任意选３人，有Ｃ ３ ６＝ ２０种选法．故至少有１位女生入选，不同的选法共有２０－４＝１６（种），故答案是１６． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查两个基本计数原理及排列组合问题的常见解题方法 不同点 考查的频率 没有单独考过排列组合的题目，考查 频率低 近几年考查频率也不高 考查的难度 难度偏大 难度较小，题型常规 考查的形式 主要在附加题中运用排列组合知识求 解概率及随机变量的分布列 呈现形式有两种：一是以小题形式呈 现，考查排列组合问题的常见解决方 法；二是在解答题中，运用排列组合知 识求解概率及随机变量的分布列 核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学 运算 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学 运算 点评 重点考查排列组合在概率中的应用 不仅考查基本方法，也渗透了排列组合 在概率中的应用 二、例题导引 例１　为配合“足球国家”战略，教育部特派６名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足 球学校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中的一名技术人员王教练不去甲校的分 配方案有　　　　种． 【路径探析】　解决本题的关键是确定分类的标准，因为题设中的限制条件是王教练不 去甲校，根据特殊元素特殊位置优先考虑的原则，将派到甲校的专业技术人员的个数进行 分类，在每一类中再利用穷举法求解． 【详细解析】　甲校派１人，其余５人分为（１，４），（２，３）两组，故有Ｃ １ ５·（Ｃ １ ５＋Ｃ ２ ５）·Ａ ２ ２＝ １５０（种）； 甲校派２人，其余４人分为（１，３），（２，２）两组，故有Ｃ２５·（Ｃ １ ４·Ａ ２ ２＋Ｃ ２ ４）＝１４０（种）； 甲校派３人，其余３人分为（１，２）一组，故有Ｃ３５·Ｃ １ ３·Ａ ２ ２＝６０（种）； 甲校派４人，其余２人分为（１，１）一组，故有Ｃ４５·Ａ ２ ２＝１０（种）． 根据分类计数原理，可得共有分配方案１５０＋１４０＋６０＋１０＝３６０（种）． 【反思评析】　解决简单的排列与组合综合问题的思路： （１）先根据附加条件将要完成的事件分类． 新高考复习指南·数学  １９４　 （２）在每一类中取出符合要求的元素组合，再对取出的元素进行排列． （３）由分类计数原理计算总数． 例２　在中美组织的暑期中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙僧、 唐僧、白龙马彩色陶俑各一个送给来中国的美国中学生汤姆、杰克、索菲亚，每个学生至少 一个，且猪八戒不能送给索菲亚，则不同的送法有　　　　种． 【路径探析】　排列组合问题的难点之一是确定分类讨论的标准，本题根据索菲亚所得 彩色陶俑的个数进行分类，在每一类中再用排列组合知识进行分组． 【详细解析】　根据索菲亚所得彩色陶俑的个数分为三类： 第１类，索菲亚得３个．先在除猪八戒外的４个中选３个送给索菲亚，有Ｃ３