第二部分 微专题七 几类常见的动点轨迹问题-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １８７　 !"#* 几类常见的动点轨迹问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１３·江苏卷第１７题）如图，在平面直角坐标系狓犗狔中， 点犃（０，３），直线犾：狔＝２狓－４．设圆犆的半径为１，圆心在犾上． （１）略； （２）若圆犆上存在点犕，使犕犃＝２犕犗，求圆心犆的横坐标犪 的取值范围． 【解】　因为圆心在直线狔＝２狓－４上， 所以圆犆的方程为（狓－犪）２＋［狔－２（犪－２）］ ２＝１． 设点犕（狓，狔），因为犕犃＝２犕犗， 所以 狓２＋（狔－３）槡 ２＝２ 狓２＋狔槡 ２． 化简得狓２＋狔 ２＋２狔－３＝０，即狓 ２＋（狔＋１） ２＝４． 所以点犕 在以犇（０，－１）为圆心、２为半径的圆上． 由题意知点犕（狓，狔）在圆犆上，所以圆犆与圆犇 有公共点，则２－１≤犆犇≤２＋１，即 １≤ 犪 ２＋（２犪－３）槡 ２ ≤３．　 由 犪２＋（２犪－３）槡 ２ ≥１，得５犪 ２－１２犪＋８≥０，解得犪∈犚； 由 犪２＋（２犪－３）槡 ２ ≤３，得５犪 ２－１２犪≤０，解得０≤犪≤ １２ ５ ． 所以点犆的横坐标犪的取值范围为 ０， １２［ ］５ ． ２．（２０１９·全国Ⅱ卷理科第２１题）已知点犃（－２，０），犅（２，０），动点犕（狓，狔）满足直线 犃犕 与犅犕 的斜率之积为－ １ ２ ．记犕 的轨迹为曲线犆． （１）求曲线犆的方程，并说明犆是什么曲线； （２）略． 新高考复习指南·数学  １８８　 【解】　由题设得 狔 狓＋２ · 狔 狓－２ ＝－ １ ２ ，化简得狓 ２ ４ ＋ 狔 ２ ２ ＝１（｜狓｜≠２），所以曲线犆为中心 在坐标原点、焦点在狓轴上的椭圆，不含左、右顶点． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 难度中等 不同点 考查的题型 解答题与填空题中均有考查 常在解答题中考查 考查的形式 以圆为载体考查隐形轨迹问题 常以抛物线、椭圆等为载体直接考查 求轨迹方程 核心素养 逻辑推理、数学抽象 数学抽象、数学运算 点评 在全国卷中动点的轨迹为重要考点，复习时需进行专项训练 二、例题导引 例１　已知两个定点的坐标分别为犃（－１，０），犅（２，０），动点 犕 满足条件∠犕犅犃＝ ２∠犕犃犅，则动点犕 的轨迹方程为　　　　　　　． 【路径探析】　通过作图可得∠犕犅犃＝２∠犕犃犅的等价条件为直线犕犃，犕犅的斜率的 关系．设∠犕犃犅＝α，则∠犕犅犃＝２α，可通过犕犃，犕犅的斜率关系得到动点犕 的方程． 【详细解析】　设犕（狓，狔），若犕 在狓轴上方，则犽犕犃＝ｔａｎα，犽犕犅＝－ｔａｎ２α． 所以犽犕犅＝－ ２犽犕犃 １－犽２犕犃 ． 易知犽犕犃＝ 狔 狓＋１ ，犽犕犅＝ 狔 狓－２ ，代入上式可得 狔 狓－２ ＝－ ２· 狔 狓＋１ １－ 狔 狓（ ）＋１ ２ ２α≠ π（ ）２ ，化简可得 ３狓２－狔 ２＝３，即狓２－ 狔 ２ ３ ＝１． 若犕 在狓轴下方，则犽犕犃＝－ｔａｎα，犽犕犅＝ｔａｎ２α，同理可得狓 ２－ 狔 ２ ３ ＝１． 当２α＝ π ２ 时，即△犕犃犅为等腰直角三角形，犕（２，３）或犕（２，－３）满足上述方程． 所以当犕 在第一、四象限时，轨迹方程为狓２－ 狔 ２ ３ ＝１（狓≥１）． 当犕 在线段犃犅 上时，同样满足∠犕犅犃＝２∠犕犃犅＝０，所以线段犃犅 的方程狔＝０ （－１＜狓＜２）也为犕 的轨迹方程． 综上所述，犕 的轨迹方程为狓２－ 狔 ２ ３ ＝１（狓≥１）或狔＝０（－１＜狓＜２）． 【反思评析】　当所求动点满足的条件简单明了时，直接按建系设点、列出条件、代入坐 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １８９　 标、整理变形、限制说明的基本步骤求轨迹方程，这种方法称为直接法．用直接法求点的轨 迹方程，在高考中有以下两个命题角度：一种是明确给出等式，求轨迹方程；另一种是给出 已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程． 例２　已知犉 是抛物线狔 ２＝４狓的焦点，犘 是抛物线上的一个动点，若动点 犕 满足 → 犉犘＝２ → 犉犕，则犕 的轨迹方程是　　　　　　　． 【路径探析】　考虑设犕（狓，狔），犘（狓０，狔０），由抛物线狔 ２＝４狓可得犉（１，０），且狔 ２ ０＝４狓０， 故考虑利用向量关系得到狓，狔与狓０，狔０的关系，从而利用代入法将狓０，狔０用狓，狔表示，再代 入狔 ２ ０＝４狓０即可． 【详细解析】　由抛物线狔 ２＝４狓可得犉（１，０）． 设犕（狓，狔），犘（狓０，狔０），则 → 犉犘＝（狓０－１，狔０）， → 犉犕＝（狓－１，狔）． ∵ → 犉犘＝２ → 犉犕，∴ 狓０－１＝２（狓－１）， 狔０＝２狔 烅 烄 烆 ， 解得 狓０＝２狓－１， 狔０＝２狔 烅 烄 烆 ． 　① ∵犘在