第二部分 微专题六 圆锥曲线中的确定性问题-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １８１　 !"#) 圆锥曲线中的确定性问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１０·江苏卷第１８题）如图，在平面直角坐标系中，已 知椭圆狓 ２ ９ ＋ 狔 ２ ５ ＝１的左、右顶点分别为犃，犅，右焦点为犉．设过 点犜（狋，犿）的直线犜犃，犜犅与椭圆分别交于点犕（狓１，狔１），犖（狓２， 狔２），其中犿＞０，狔１＞０，狔２＜０．设狋＝９，求证：直线犕犖 必过狓 轴上的一定点（其坐标与犿 无关）． 【解】　设直线犕犖：狓＝犽狔＋犪，因为 → 犃犕∥ → 犃犜，所以（狓１＋３，狔１）＝λ（１２，犿）． 又狓１＝犽狔１＋犪，所以狔１＝ 犿（犪＋３） １２－犿犽 ．同理，得狔２＝ 犿（犪－３） ６－犿犽 ． 由 狓＝犽狔＋犪， 狓２ ９ ＋ 狔 ２ ５ ＝１ 烅 烄 烆 ， 得（５犽２＋９）狔 ２＋１０犪犽狔＋５犪 ２－４５＝０． 所以狔１＋狔２＝－ １０犪犽 ５犽２＋９ ＝ １８犪犿－１８犿－２犪犽犿２ （１２－犿犽）（６－犿犽） ， 狔１狔２＝ ５犪２－４５ ５犽２＋９ ＝ 犿２（犪２－９） （１２－犿犽）（６－犿犽） ． 两式相除，得－ １０犪犽 ５ ＝ １８犪犿－１８犿－２犪犽犿２ 犿２ ，所以１８犪犿－１８犿＝０，所以犪＝１． 因此，直线犕犖 必过狓轴上一定点（１，０）． ２．（２０１９·全国Ⅲ卷文科第２１题）已知曲线犆：狔＝ 狓２ ２ ，犇 为直线狔＝－ １ ２ 上的动点， 过犇作曲线犆的两条切线，切点分别犃，犅． （１）证明：直线犃犅过定点； （２）若以犈 ０，（ ）５２ 为圆心的圆与直线犃犅相切，且切点为线段犃犅的中点，求四边形 新高考复习指南·数学  １８２　 犃犇犅犈的面积． 【解】　（１）设犇狋，－（ ）１２ ，犃（狓１，狔１），则狓２１＝２狔１． 由于狔′＝狓，所以切线犇犃的斜率为狓１，故 狔１＋ １ ２ 狓１－狋 ＝狓１，整理得２狋狓１－２狔１＋１＝０． 设犅（狓２，狔２），同理可得２狋狓２－２狔２＋１＝０． 故直线犃犅的方程为２狋狓－２狔＋１＝０． 所以直线犃犅过定点 ０，（ ）１２ ． （２）由（１）得直线犃犅的方程为狔＝狋狓＋ １ ２ ． 由 狔＝狋狓＋ １ ２ ， 狔＝ 狓２ ２ 烅 烄 烆 ， 可得狓２－２狋狓－１＝０． 于是狓１＋狓２＝２狋，狓１狓２＝－１，狔１＋狔２＝狋（狓１＋狓２）＋１＝２狋 ２＋１． 犃犅＝ １＋狋槡 ２ ｜狓１－狓２｜＝ １＋狋槡 ２× （狓１＋狓２） ２－４狓１狓槡 ２＝２（狋 ２＋１）． 设犱１，犱２ 分别为点犇，犈到直线犃犅 的距离，则犱１＝ 狋 ２ 槡 ＋１，犱２＝ ２ 狋２槡 ＋１ ． 因此，四边形犃犇犅犈的面积犛＝ １ ２ 犃犅（犱１＋犱２）＝（狋 ２＋３）狋２槡 ＋１． 设犕 为线段犃犅 的中点，则犕 狋，狋２＋（ ）１２ ． 由于 → 犈犕⊥ → 犃犅，而 → 犈犕＝（狋，狋２－２）， → 犃犅与向量（１，狋）平行，所以狋＋（狋２－２）狋＝０，解得狋＝ ０或狋＝±１． 当狋＝０时，犛＝３；当狋＝±１时，犛 槡＝４ ２． 因此，四边形犃犇犅犈的面积为３或 槡４ ２． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 定点、定值、定线和确定性位置关系均在解答题中考查，难度中等偏上 不同点 考查的形式 均以椭圆为载体，考查内容较为灵活 多以椭圆和抛物线为载体，有时直接 考查结论的证明 考查的频率 ２０１３年之前是高频考点，近几年高考 中未考查 考查频率较高 核心素养 逻辑推理、数学运算 侧重于数学运算 点评 确定性问题在江苏卷和全国卷中均为重要考点，复习时需加以强化训练 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １８３　 二、例题导引 例１　设犃犅是椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的弦，点犃关于狓轴的对称点为犃′（点犃′，犅 不重合），且犃犅过点犘（狋，０），求证：直线犃′犅 过定点犙 犪２ 狋 ，（ ）０ ． 【路径探析】　欲证明直线犃′犅 过定点，可设出直线犃′犅 的方程：狔＝犽狓＋犿，接下来的 目标为根据条件寻找犽，犿 的关系式．条件犃犅 过点犘（狋，０）可转化为 → 犃犘∥ → 犃犅，从而有 （狋－狓１）（狔１＋狔２）＝狔１（狓２－狓１），消去狔１，狔２ 得２犽狓１狓２＋（犿－犽狋）（狓１＋狓２）＝２犿狋，以下进入 设而不求的套路． 【详细解析】　设 犃′（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则 犃（狓１，－狔１）． 设直线犃′犅：狔＝犽狓＋犿，将其代入 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１，消去狔并整理，得 （犽２犪２＋犫２）狓２＋２犽犿犪２狓＋犪２犿２－犪２犫２＝０，则 狓１＋狓２＝－ ２犽犿犪２ 犽２犪２＋犫２ ，狓１狓２＝