第二部分 微专题五 圆锥曲线中的面积问题-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １７４　 !"#( 圆锥曲线中的面积问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１８·江苏卷第１８题）如图，在平面直角坐标系狓犗狔中，椭 圆犆过点 槡３，（ ）１２ ，焦点犉１（ 槡－３，０），犉２（槡３，０），圆犗的直径为犉１犉２． （１）求椭圆犆及圆犗 的方程． （２）设直线犾与圆犗 相切于第一象限内的点犘． ① 若直线犾与椭圆犆有且只有一个公共点，求点犘的坐标； ② 设直线犾与椭圆犆交于犃，犅两点，若△犗犃犅的面积为 槡２ ６ ７ ，求直线犾的方程． 【解】　（１）因为椭圆犆 的焦点为犉１（ 槡－ ３，０），犉２（槡３，０），可设椭圆犆 的方程为 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）．　 又点 槡３，（ ）１２ 在椭圆犆上，所以 ３ 犪２ ＋ １ ４犫２ ＝１， 犪２－犫２＝３ 烅 烄 烆 ， 解得 犪２＝４， 犫２＝１ 烅 烄 烆 ． 因此，椭圆犆的方程为 狓２ ４ ＋狔 ２＝１． 因为圆犗的直径为犉１犉２，所以圆犗的方程为狓 ２＋狔 ２＝３． （２）① 设直线犾与圆犗 相切于犘（狓０，狔０）（狓０＞０，狔０＞０），则狓 ２ ０＋狔 ２ ０＝３． 所以直线犾的方程为狔＝－ 狓０ 狔０ （狓－狓０）＋狔０，即狔＝－ 狓０ 狔０ 狓＋ ３ 狔０ ． 由 狓２ ４ ＋狔 ２＝１， 狔＝－ 狓０ 狔０ 狓＋ ３ 狔０ 烅 烄 烆 ， 消去狔，得（４狓 ２ ０＋狔 ２ ０）狓 ２－２４狓０狓＋３６－４狔 ２ ０＝０　（）． 因为直线犾与椭圆犆有且只有一个公共点， ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １７５　 所以Δ＝（－２４狓０） ２－４（４狓２０＋狔 ２ ０）（３６－４狔 ２ ０）＝４８狔 ２ ０（狓 ２ ０－２）＝０． 因为狓０＞０，狔０＞０，所以狓０ 槡＝ ２，狔０＝１． 因此，点犘的坐标为（槡２，１）． ② 如图，因为△犗犃犅的面积为 槡２ ６ ７ ，所以１ ２ 犃犅·犗犘＝ 槡 ２ ６ ７ ，从 而犃犅＝ 槡４ ２ ７ ． 设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），由（）得狓１，２＝ ２４狓０± ４８狔 ２ ０（狓 ２ ０－２槡 ） ２（４狓２０＋狔 ２ ０） ． 所以犃犅２＝（狓１－狓２） ２＋（狔１－狔２） ２＝ １＋ 狓２０ 狔（ ）２０ · ４８狔 ２ ０（狓 ２ ０－２） （４狓２０＋狔 ２ ０） ２ ． 因为狓２０＋狔 ２ ０＝３，所以犃犅 ２＝ １６（狓２０－２） （狓２０＋１） ２ ＝ ３２ ４９ ，即２狓４０－４５狓 ２ ０＋１００＝０，解得狓 ２ ０＝ ５ ２ （狓２０＝２０舍去），则狔 ２ ０＝ １ ２ ，因此犘的坐标为 槡１０ ２ ，槡２（ ） ２ ． 综上，直线犾的方程为狔 槡＝－ ５狓 槡＋３ ２． ２．（２０１９·全国Ⅲ卷理科第１０题）双曲线犆： 狓２ ４ － 狔 ２ ２ ＝１的右焦点为犉，点犘在犆 的 一条渐近线上，犗为坐标原点，若犘犗＝犘犉，则△犘犉犗的面积为（　　）． Ａ． 槡３ ２ ４ Ｂ． 槡３ ２ ２ 槡 槡Ｃ．２ ２ Ｄ．３ ２ 【解】　双曲线犆： 狓２ ４ － 狔 ２ ３ ＝１的右焦点为犉（槡６，０），渐近线方程为狔＝± 槡２ ２ 狓．不妨设点 犘在第一象限，可得ｔａｎ∠犘犗犉＝ 槡２ ２ ，犘 槡６ ２ ，槡３（ ） ２ ，所以△犘犉犗 的面积为 １ ２ 槡× ６× 槡３ ２ ＝ 槡３ ２ ４ ．故选Ａ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 考查数学运算等核心素养 不同点 考查的题型 通常在解答题中考查 填空题、选择题和解答题中均有考查 考查的形式 常以椭圆为载体 常以椭圆、抛物线和双曲线为载体 考查的频率 高考中考查频率不高，模考中常考 考查频率较高 点评 圆锥曲线中的面积问题有三种常见的处理方式，即直接用公式、转化、割补，应 在复习时加以训练 新高考复习指南·数学  １７６　 二、例题导引 例１　已知点犘是椭圆１６狓 ２＋２５狔 ２＝１６００上的一点，且在狓轴上方，犉１，犉２分别为椭 圆的左、右焦点，直线犘犉２的斜率为 槡－４ ３，则△犘犉１犉２的面积是（　　）． 槡 槡 槡 槡Ａ．３２ ３ Ｂ．２４ ３ Ｃ．３２ ２ Ｄ．２４ ２ 【路径探析】　将椭圆化为标准方程 狓２ １００ ＋ 狔 ２ ６４ ＝１，进而可得犮＝６，所以犉１（－６，０）， 犉２（６，０），计算△犘犉１犉２的面积可以以犉１犉２为底、犘狔为高，所以考虑利用条件计算出犘的纵 坐标． 【详细解析】　设犘（狓，狔），则有犽犘犉 ２ ＝ 狔 狓－６ 槡＝－４ ３，所以 １６狓２＋２５狔 ２＝１６００， 狔 狓－６ 槡＝－４ ３， 狔＞０ 烅 烄 烆 ． 可解得狔 槡＝４ ３或狔＝－ 槡６４