第二部分 微专题四 圆锥曲线中几何条件的转化-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １６７　 !"#' 圆锥曲线中几何条件的转化 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１６·江苏卷第１０题）如图，在平面直角坐标系狓犗狔中，犉 是椭圆狓 ２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的右焦点，直线狔＝ 犫 ２ 与椭圆交于犅，犆 两点，且∠犅犉犆＝９０°，则该椭圆的离心率是　　　　　． 【解】　由题意得犉（犮，０），直线狔＝ 犫 ２ 与椭圆方程联立可得 犅 － 槡３犪 ２ ，犫（ ） ２ ，犆 槡３犪 ２ ，犫（ ） ２ ．由∠犅犉犆＝９０°可得 → 犅犉· → 犆犉＝０，又 → 犅犉＝ 犮＋ 槡３犪 ２ ，－ 犫（ ） ２ ， → 犆犉＝ 犮－ 槡３犪 ２ ，－ 犫（ ） ２ ，则犮２－ ３ ４ 犪２＋ １ ４ 犫２＝０．由犫２＝犪２－犮２可得 ３ ４ 犮２＝ １ ２ 犪２，则犲＝ 犮 犪 ＝槡 ２ ３ ＝ 槡６ ３ ． ２．（２０１５·全国Ⅱ卷理科第２０题）已知椭圆犆：９狓 ２＋狔 ２＝犿２（犿＞０），直线犾不过原点 犗且不平行于坐标轴，犾与犆有两个交点犃，犅，线段犃犅的中点为犕． （１）证明：直线犗犕 的斜率与犾的斜率的乘积为定值． （２）若犾过点 犿 ３ ，（ ）犿 ，延长线段犗犕 与犆 交于点犘，四边形犗犃犘犅能否为平行四边 形？若能，求此时犾的斜率；若不能，说明理由． 【解】　（１）设直线犾：狔＝犽狓＋犫（犽≠０，犫≠０），犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），犕（狓犕，狔犕）． 将狔＝犽狓＋犫代入９狓 ２＋狔 ２＝犿２ 得（犽２＋９）狓２＋２犽犫狓＋犫２－犿２＝０． 故狓犕＝ 狓１＋狓２ ２ ＝－ 犽犫 犽２＋９ ，狔犕＝犽狓犕＋犫＝ ９犫 犽２＋９ ． 于是直线犗犕 的斜率犽犗犕＝ 狔犕 狓犕 ＝－ ９ 犽 ，即犽犗犕·犽＝－９． 所以直线犗犕 的斜率与犾的斜率的乘积为定值． （２）四边形犗犃犘犅能为平行四边形． 新高考复习指南·数学  １６８　 因为直线犾过点 犿 ３ ，（ ）犿 ，所以犾不过原点且与犆有两个交点的充要条件是犽＞０，犽≠３． 由（１）得犗犕 的方程为狔＝－ ９ 犽 狓． 设点犘的横坐标为狓犘．由 狔＝－ ９ 犽 狓， ９狓２＋狔 ２＝犿２ 烅 烄 烆 ， 得狓２犘＝ 犽２犿２ ９犽２＋８１ ，即狓犘＝ ±犽犿 ３ 犽２槡 ＋９ ． 将点 犿 ３ ，（ ）犿 的坐标代入直线犾的方程得犫＝犿（３－犽）３ ，因此狓犕＝ 犿犽（犽－３） ３（犽２＋９） ． 四边形犗犃犘犅为平行四边形当且仅当线段犃犅 与线段犗犘 互相平分，即狓犘＝２狓犕． 于是 ±犽犿 ３犽２槡 ＋９ ＝２× 犿犽（犽－３） ３（犽２＋９） ，解得犽１ 槡＝４－ ７，犽２ 槡＝４＋ ７． 因为犽犻＞０，犽犻≠３（犻＝１，２），所以当犾的斜率为 槡４－ ７或 槡４＋ ７时，四边形犗犃犘犅为平行 四边形． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 高频考点，难度中等或中等偏上 不同点 考查的题型 通常在解答题中考查 填空题、选择题和解答题中均有考查 考查的形式 常以椭圆为载体 常以椭圆、抛物线和双曲线为载体 核心素养 侧重于数学运算 侧重于逻辑推理和数学运算 点评 在圆锥曲线的综合问题中，特别是在全国卷中，经常会遇到几何条件与代数条 件的相互转化，合理地进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作 用，能极大地简化运算的复杂程度 二、例题导引 例１　如图，犃，犅分别是椭圆犆： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的左、右 顶点，犉为其右焦点，２是犃犉，犉犅的等差中项，槡３是犃犉，犉犅的等比 中项． （１）求椭圆犆的方程； （２）已知犘是椭圆犆上异于犃，犅的动点，直线犾过点犃 且垂直 于狓轴，若过犉作直线犉犙⊥犃犘，并交直线犾于点犙，证明：犙，犘，犅三点共线． 【路径探析】　第（２）题中设出直线犃犘的斜率犽后，可表示出直线犃犘：狔＝犽（狓＋２），与 椭圆方程联立后可求出犘 点坐标．借助于犉犙⊥犃犘，可得到犽犉犙＝－ １ 犽 ，从而犉犙：狔＝ － １ 犽 （狓－１），与直线犾的方程联立后求出犙 －２， ３（ ）犽 ，可证得犽犅犙＝犽犅犘，故犙，犘，犅三点共线． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １６９　 【详细解析】　（１）依题意可得犃（－犪，０），犅（犪，０），犉（犮，０），所以犃犉＝犮＋犪，犅犉＝犪－犮． ∵２是犃犉，犉犅的等差中项，∴４＝犃犉＋犉犅＝犪＋犮＋犪－犮＝２犪，解得犪＝２． 槡∵ ３是犃犉，犉犅的等比中项，∴ （槡３） ２＝犃犉·犉犅＝（犪＋犮）（犪－犮）＝犪２－犮２＝犫２． ∴犫２＝３，故椭圆方程为 狓２ ４ ＋ 狔 ２ ３ ＝１． （２）由（１）可得犃（－２，０），犅（２，０），犉