第二部分 微专题三 离心率的值与范围问题-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １６２　 !"#& 离心率的值与范围问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１４·江苏卷第１７题）如图，在平面直角坐标系狓犗狔中， 犉１，犉２ 分别是椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的左、右焦点，顶点犅的坐 标为（０，犫），连结犅犉２ 并延长交椭圆于点犃，过点犃作狓轴的垂线交 椭圆于另一点犆，连结犉１犆． （１）若点犆的坐标为 ４ ３ ，（ ）１３ ，且犅犉２ 槡＝ ２，求椭圆的方程； （２）若犉１犆⊥犃犅，求椭圆离心率犲的值． 【解】　（１） 狓２ ２ ＋狔 ２＝１（过程略）． （２）设焦点犉１ 的坐标为（－犮，０），犉２ 的坐标为（犮，０）． 因为点犅的坐标为（０，犫），所以直线犅犉２ 的方程为狔＝－ 犫 犮 狓＋犫． 联立方程 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１， 狔＝－ 犫 犮 狓＋犫 烅 烄 烆 ， 整理得 １ 犪２ ＋ １ 犮（ ）２ 狓２－ ２ 犮 狓＝０，解得狓＝０或狓＝ ２犪２犮 犪２＋犮２ ． 因为点犃的坐标为 ２犪２犮 犪２＋犮２ ，犫－ ２犪２犫 犪２＋犮（ ）２ ，且犃，犆关于狓轴对称， 所以点犆的坐标为 ２犪２犮 犪２＋犮２ ，２犪 ２犫 犪２＋犮２ －（ ）犫 ，所以犽犉１犆＝ ２犪２犫 犪２＋犮２ －犫 ２犪２犮 犪２＋犮２ ＋犮 ＝ 犪２犫－犫犮２ ３犪２犮＋犮３ ． 因为犃犅⊥犆犉１，所以 犪２犫－犫犮２ ３犪２犮＋犮３ × － 犫（ ）犮 ＝－１． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １６３　 再由犫２＝犪２－犮２，得 犮２ 犪２ ＝ １ ５ ，即犲＝槡 ５ ５ ． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第１６题）已知双曲线犆： 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１ （犪＞０，犫＞０）的左、右焦点分别为犉１，犉２，过犉１ 的直线与双曲 线犆的两条渐近线分别交于犃，犅 两点．若犉１ → 犃＝ → 犃犅，犉１ → 犅· 犉２ → 犅＝０，则双曲线犆的离心率为　　　　． 【解】　如图，因为犉１ → 犃＝ → 犃犅，所以犃为犉１犅的中点． 又犗为犉１犉２ 的中点，所以犃犗∥ １ ２ 犅犉２，犃犗＝ １ ２ 犅犉２． 因为犉１ → 犅·犉２ → 犅＝０，所以∠犉１犅犉２＝９０°． 又犗为犉１犉２ 的中点，所以犗犅＝ １ ２ 犉１犉２＝犗犉２＝犮． 由犃犗∥ １ ２ 犅犉２，得∠犅犗犉２＝∠犃犗犉１＝∠犅犉２犉１． 所以犗犅＝犅犉２，因此△犗犅犉２ 为等边三角形，∠犅犗犉２＝６０°． 即渐近线的斜率为槡３，也即 犫 犪 槡＝ ３，所以犲＝ １＋ 犫２ 犪槡 ２＝２． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 高频考点，难度中等 不同点 考查的题型 解答题与填空题中均有考查 常见于填空题与选择题 考查的形式 常以椭圆为载体 常以双曲线为载体 核心素养 侧重于数学运算 侧重于逻辑推理 点评 离心率问题在江苏卷和全国卷中均为重要考点，复习时需加以强化训练 二、例题导引 例１　设犉１，犉２分别是双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞０，犫＞０）的左、右焦点，若双曲线左支上存 在一点犕，使得犉１ → 犕·（ → 犗犕＋犗犉 → １）＝０，犗为坐标原点，且｜犕犉 → １｜＝ 槡３ ３ ｜犕犉 → ２｜，则该双曲线 的离心率为（　　）． 槡Ａ．３＋１ Ｂ． 槡３＋１ ２ 槡 槡Ｃ．６＋ ２ Ｄ． 槡 槡６＋ ２ ２ 【路径探析】　本题已知条件与焦半径相关，可先考虑焦点三角形犕犉１犉２的形状特征． 【详细解析】　由犉１ → 犕·（ → 犗犕＋犗犉 → １）＝０，可得犉１ → 犕⊥（ → 犗犕＋犗犉 → １）． 新高考复习指南·数学  １６４　 所以△犕犉１犉２为直角三角形，所以犗犕＝犗犉１＝犗犉２． 因为｜犕犉 → １｜∶｜犕犉 → ２｜ 槡＝３∶３，所以设犕犉１ 槡＝３犽，犕犉２＝３犽，可得犉１犉２＝ 犕犉１ ２＋犕犉２槡 ２＝ 槡２ ３犽．所以犲＝ ２犮 ２犪 ＝ 犉１犉２ 犕犉２－犕犉１ ＝ 槡２ ３犽 ３犽 槡－ ３犽 槡＝ ３＋１．故选Ａ． 【反思评析】　在求椭圆或双曲线的离心率时，如遇到焦点三角形的条件，常常会用到 椭圆或双曲线的定义，同时还常常借助勾股定理或余弦定理列等量关系，而后得出基本量 犪，犫，犮的关系式，再将其转化为犪，犮的齐次关系式，最后通过在等式两边同时除以犪（或犪２， 犪３，…）得到犲的方程，解得犲的值． 例２　如图，已知犉是双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞０，犫＞０）的左 焦点，犈是该双曲线的右顶点，过点犉且垂直于狓轴的直线与双 曲线交于犃，犅两点．若△犃犅犈是锐角三角形，则该双曲线的离 心率犲的取值范围