第二部分 微专题二 求圆锥曲线的方程-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １５６　 !"#% 求圆锥曲线的方程 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏卷第１７题）如图，在平面直角坐标系狓犗狔中， 椭圆犈： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的左、右焦点分别为犉１，犉２，离心率为 １ ２ ，两条准线之间的距离为８．点犘 在椭圆犈 上，且位于第一象限， 过点犉１作直线犘犉１的垂线犾１，过点犉２作直线犘犉２的垂线犾２． （１）求椭圆犈的标准方程； （２）若直线犾１，犾２的交点犙在椭圆犈 上，求点犘的坐标． 【解】　（１）设椭圆的半焦距为犮． 因为椭圆犈的离心率为 １ ２ ，两条准线之间的距离为８， 所以犮 犪 ＝ １ ２ ，２犪 ２ 犮 ＝８，解得犪＝２，犮＝１，于是犫＝ 犪２－犮槡 ２ 槡＝ ３． 因此，椭圆犈的标准方程是 狓２ ４ ＋ 狔 ２ ３ ＝１． （２）略． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷文科第１０题）已知椭圆犆的焦点为犉１（－１，０），犉２（１，０），过犉２ 的直线与椭圆犆交于犃，犅两点．若犃犉２＝２犉２犅，犃犅＝犅犉１，则椭圆犆的方程为（　　）． Ａ． 狓２ ２ ＋狔 ２＝１ Ｂ． 狓２ ３ ＋ 狔 ２ ２ ＝１ Ｃ． 狓２ ４ ＋ 狔 ２ ３ ＝１ Ｄ． 狓２ ５ ＋ 狔 ２ ４ ＝１ 【解】　如图，设犅犉２＝狓，则犃犉２＝２狓，所以犅犉１＝犃犅＝３狓． 由椭圆定义知犅犉１＋犅犉２＝２犪，即４狓＝２犪． 又犃犉１＋犃犉２＝２犪＝４狓，犃犉２＝２狓，所以犃犉１＝２狓． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １５７　 因此点犃为椭圆的上顶点，设其坐标为（０，犫）． 由犃犉２＝２犅犉２可得点犅的坐标为 ３ ２ ，－ 犫（ ）２ ． 因为点犅在椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）上，所以 ９ ４犪２ ＋ １ ４ ＝１，解得犪２＝３． 又犮＝１，所以犫２＝２．所以椭圆方程为 狓２ ３ ＋ 狔 ２ ２ ＝１．故选Ｂ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 考查频率较高，在江苏卷和全国卷中均为重要考点 不同点 考查的难度 难度较小 容易题或中档题 考查的形式 以椭圆为载体，常出现在解答题第（１） 小题 常以椭圆、双曲线或抛物线为载体，在 小题与大题中均有出现 核心素养 侧重于数学运算 侧重于数学运算与逻辑推理 点评 求圆锥曲线的方程属于高考中的基本题型，通过该内容考查学生对基础知识 的掌握情况．在全国卷中有时结合圆锥曲线的定义，或几种圆锥曲线相结合， 或与圆相结合考查较为综合的问题 二、例题导引 例１　若抛物线狔 ２＝２狆狓（狆＞０）的焦点是椭圆 狓２ ３狆 ＋ 狔 ２ 狆 ＝１的一个焦点，则狆＝（　　）． Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．８ 【路径探析】　由抛物线的几何意义可知其焦点坐标为 狆 ２ ，（ ）０ ，由椭圆的几何意义可 知犮２＝犪２－犫２＝３狆－狆＝２狆，故２狆＝ 狆（ ）２ ２ ． 【详细解析】　由题意可得２狆＝ 狆（ ）２ ２ ，解得狆＝８．故选Ｄ． 【反思评析】　求曲线（或直线）方程时，当题目中含几何意义的条件较多（如斜率、焦 距、半轴长、半径等）时，可以考虑利用几何意义求出曲线方程中所要求的值，从而按定义确 定方程． 例２　已知椭圆犈： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的半焦距为犮，原点犗 到经过两点（犮，０），（０，犫）的直线的距离为 １ ２ 犮． （１）求椭圆的离心率； （２）如图，犃犅是圆犕：（狓＋２）２＋（狔－１） ２＝ ５ ２ 的一条直径，若 新高考复习指南·数学  １５８　 椭圆犈 经过犃，犅两点，求椭圆犈的方程． 【路径探析】　第（１）题先利用原点犗到直线的距离为 １ ２ 犮来建立关于犪，犫，犮的方程，再 借助于椭圆中犪２＝犫２＋犮２即可求出离心率的值．第（２）题可先利用已求出的犪与犫的关系减 少所设椭圆方程中的参数（如将犪２转化成４犫２），再将条件“犃犅是圆犕：（狓＋２）２＋（狔－１） ２＝ ５ ２ 的一条直径，若椭圆犈 经过犃，犅两点”转化成“直线犃犅与椭圆相交的弦长等于圆犕 的 直径，即犃犅 槡＝ １０”来建立关于参数犫的方程，解出犫的值即可求出椭圆犈 的方程． 【详细解析】　（１）过（犮，０），（０，犫）的直线的方程为 狓 犮 ＋ 狔 犫 ＝１犫狓＋犮狔－犫犮＝０． 所以犱犗－犾＝ ｜－犫犮｜ 犫２＋犮槡 ２ ＝ 犫犮 犪 ＝ １ ２ 犮，得犫＝ １ ２ 犪． 由犪２＝犫２＋犮２可得犪２＝ 犪（ ）２ ２ ＋犮２ 犮２ 犪２ ＝ ３ ４ ．所以犲＝ 犮 犪 ＝ 槡３ ２ ． （２）由（１）可得犪∶犫∶犮 槡＝２∶１∶ ３． 所以椭圆方程为狓 ２ ４犫２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１狓 ２＋４狔 ２＝４犫２．