第二部分 微专题一 直线与圆的位置关系-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １５０　 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 解析几何篇 !"#$ 直线与圆的位置关系 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１８·江苏卷第１２题）在平面直角坐标系狓犗狔中，犃为直线犾：狔＝２狓在第一象 限内的点，犅（５，０），以犃犅为直径的圆犆与直线犾交于另一点犇．若 → 犃犅· → 犆犇＝０，则点犃的 横坐标为　　　　　． 【解】　因为 → 犃犅· → 犆犇＝０，所以犃犅⊥犆犇．又点犆为犃犅 的中点，所以∠犅犃犇＝４５°． 设直线犾的倾斜角为θ，直线犃犅的斜率为犽，则ｔａｎθ＝２，犽＝ｔａｎθ＋ π（ ）４ ＝－３． 又犅（５，０），所以直线犃犅的方程为狔＝－３（狓－５）． 又犃为直线犾：狔＝２狓在第一象限内的点， 联立直线犃犅与直线犾的方程，得 狔＝－３（狓－５）， 狔＝２狓 烅 烄 烆 ． 解得 狓＝３， 狔＝６ 烅 烄 烆 ， 所以点犃的横坐标为３． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷文科第２１题）已知点犃，犅关于坐标原点犗 对称，犃犅＝４，⊙犕 过 点犃，犅且与直线狓＋２＝０相切． （１）若犃在直线狓＋狔＝０上，求⊙犕 的半径． （２）是否存在定点犘，使得当犃运动时，犕犃－犕犘为定值？并说明理由． 【解】　（１）因为⊙犕 过点犃，犅，所以圆心犕 在犃犅 的垂直平分线上．由于犃在直线 狓＋狔＝０上，且犃，犅关于坐标原点犗 对称，所以犕 在直线狔＝狓上，故可设犕（犪，犪）． 因为⊙犕 与直线狓＋２＝０相切，所以⊙犕 的半径为狉＝｜犪＋２｜． 由已知得犃犗＝２，又 → 犕犗⊥ → 犃犗，故可得２犪２＋４＝（犪＋２）２，解得犪＝０或犪＝４． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（解析几何篇） １５１　 故⊙犕 的半径狉＝２或狉＝６． （２）存在定点犘（１，０），使得犕犃－犕犘为定值．理由如下： 设犕（狓，狔），由已知得⊙犕 的半径为狉＝｜狓＋２｜，犃犗＝２． 由于 → 犕犗⊥ → 犃犗，故可得狓２＋狔 ２＋４＝（狓＋２）２，化简得犕 的轨迹方程为狔 ２＝４狓． 因为曲线犆：狔 ２＝４狓是以点犘（１，０）为焦点，以直线狓＝－１为准线的抛物线，所以 犕犘＝狓＋１．　 因为犕犃－犕犘＝狉－犕犘＝狓＋２－（狓＋１）＝１，所以存在满足条件的定点犘． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 相同点 高频考点、难度中等，常围绕圆中弦长、切线的求法等命题 不同点 考查的题型 解答题与填空题中均有考查 填空题、选择题和解答题中均有出现 考查的形式 注重对圆中基本问题的考查，有时结 合向量的线性运算、数量积等命制试 题，有时还加上实际应用背景命制解 答题 常与其他考点结合考查，如与向量、三 角形的面积、圆锥曲线、求轨迹问题等 综合考查 核心素养 数学建模、逻辑推理、数学运算 侧重于逻辑推理 点评 直线与圆的位置关系在江苏卷和全国卷中均为重要考点，复习时可以题组形 式加以巩固训练 二、例题导引 例１　设犿，狀∈犚，若直线（犿＋１）狓＋（狀＋１）狔－２＝０与圆（狓－１） ２＋（狔－１） ２＝１相 切，则犿＋狀的取值范围是（　　）． Ａ．［ 槡１－ ３， 槡１＋ ３］ Ｂ．（－∞， 槡１－ ３］∪［ 槡１＋ ３，＋∞） Ｃ．［ 槡２－２ ２， 槡２＋２ ２］ Ｄ．（－∞， 槡２－２ ２］∪［ 槡２＋２ ２，＋∞） 【路径探析】　本题可先将条件“直线与圆相切”转化成“圆心到直线的距离等于半径”， 得到关系式犿狀＝犿＋狀＋１，再直接用基本不等式或代入消元法来求犿＋狀的取值范围． 【详细解析】　方法一　因为直线（犿＋１）狓＋（狀＋１）狔－２＝０与圆（狓－１） ２＋（狔－１） ２＝１ 相切，所以圆心（１，１）到直线的距离为犱＝ ｜（犿＋１）＋（狀＋１）－２｜ （犿＋１）２＋（狀＋１）槡 ２ ＝１． 所以犿狀＝犿＋狀＋１≤ 犿＋狀（ ）２ ２ ． 设狋＝犿＋狀，则 １ ４ 狋２≥狋＋１，解得狋∈（－∞， 槡２－２ ２］∪［ 槡２＋２ ２，＋∞）． 方法二　因为直线（犿＋１）狓＋（狀＋１）狔－２＝０与圆（狓－１） ２＋（狔－１） ２＝１相切，所以 圆心（１，１）到直线的距离为犱＝ ｜（犿＋１）＋（狀＋１）－２｜ （犿＋１）２＋（狀＋１）槡 ２ ＝１． 新高考复习指南·数学  １５２　 整理后可得犿狀＝犿＋狀＋１，即狀＝ 犿＋１ 犿－１ ，所以犿＋狀＝犿＋ 犿＋１ 犿－１ ＝犿－１＋ ２ 犿－１ ＋２，进 而由对勾函数的性质可知犿＋狀∈（－∞， 槡２－２ ２］∪［ 槡２＋２ ２，＋∞），故答案为Ｄ． 【反思评析】　研究直线与圆的位置关系时，一般通过几何法，利用点到直线的距离犱 和半径狉的大小关系做出判断．当直线和圆相切时，常研究切线方程和切线长的