第二部分 微专题五 运用传统方法求空间角与距离-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １４１　 !"#( 运用传统方法求空间角与距离 一、江苏高考卷从２００８年到２０１９年一直没有考查过该内容 二、例题导引 例１　（１）如图，已知多面体犃犅犆犃１犅１犆１，犃１犃，犅１犅，犆１犆均垂直 于平面犃犅犆，∠犃犅犆＝１２０°，犃１犃＝４，犆１犆＝１，犃犅＝犅犆＝犅１犅＝２． ① 证明：犃犅１⊥平面犃１犅１犆１； ② 求直线犃犆１ 与平面犃犅犅１ 所成角的正弦值． （２）如图，已知△犃犅犆为等边三角形，犕 为犃犅 的中点，犃犃１，犅犅１ 垂直于平面犃犅犆，垂足分别为点犃，犅，犃犃１＝犃犅，犅犅１＝ １ ２ 犃犅，犕犖⊥ 犃１犅１，垂足为点犖． ① 求证：犆犖⊥犃１犅１； ② 求平面犃犅犆与平面犃１犅１犆所成的锐二面角的正切值． 【路径探析】　两题均考查线面之间的垂直关系，并且利用垂直关系求空间中的角．解 题时要理解线线垂直、线面垂直的判定定理及性质定理，熟练掌握线面垂直、线线垂直与面 面垂直之间的相互转化，理解空间角的定义，将空间角转化为平面角是解答此类问题的 关键． 【详细解析】　（１）方法一　① 由犃犅＝２，犃犃１＝４，犅犅１＝２，犃犃１⊥犃犅，犅犅１⊥犃犅，得 犃犅１＝犃１犅１ 槡＝２ ２，所以犃１犅１ ２＋犃犅１ ２＝犃犃１ ２，故犃犅１⊥犃１犅１． 由犅犆＝２，犅犅１＝２，犆犆１＝１，犅犅１⊥犅犆，犆犆１⊥犅犆，得犅１犆１ 槡＝ ５． 由犃犅＝犅犆＝２，∠犃犅犆＝１２０°，得犃犆 槡＝２ ３． 由犆犆１⊥犃犆，得犃犆１ 槡＝ １３． 所以犃犅１ ２＋犅１犆１ ２＝犃犆１ ２，故犃犅１⊥犅１犆１． 又因为犃１犅１∩犅１犆１＝犅１，犃１犅１，犅１犆１平面犃１犅１犆１， 新高考复习指南·数学  １４２　 所以犃犅１⊥平面犃１犅１犆１． ② 如图，过点犆１ 作犆１犇⊥犃１犅１，交直线犃１犅１ 于点犇，连结犃犇． 由犃犅１⊥平面犃１犅１犆１，犃犅１平面犃犅犅１，得平面犃１犅１犆１⊥平 面犃犅犅１． 由犆１犇⊥犃１犅１，平面犃１犅１犆１∩平面犃犅犅１＝犃１犅１，犆１犇平面犃１犅１犆１，得 犆１犇⊥平面犃犅犅１． 所以∠犆１犃犇是犃犆１ 与平面犃犅犅１ 所成的角． 由犅１犆１ 槡＝ ５，犃１犅１ 槡＝２ ２，作犆１犈⊥犃１犃，垂足为点犈，因为犃１犈＝３，犆１犈＝犃犆 槡＝２ ３， 所以犃１犆１ 槡＝ ２１，得ｃｏｓ∠犆１犃１犅１＝ 槡４２ ７ ，ｓｉｎ∠犆１犃１犅１＝ 槡７ ７ ． 所以犆１犇 槡＝ ３，故ｓｉｎ∠犆１犃犇＝ 犆１犇 犃犆１ ＝ 槡３９ １３ ． 因此直线犃犆１ 与平面犃犅犅１ 所成角的正弦值是 槡３９ １３ ． 方法二　① 如图，以犃犆的中点犗 为原点，分别以射线犗犅，犗犆为 狓轴、狔轴的正半轴，建立空间直角坐标系犗狓狔狕． 由题意知各点坐标如下： 犃（０， 槡－３，０），犅（１，０，０），犃１（０， 槡－ ３，４），犅１（１，０，２），犆１（０，槡３，１）． 因此犃犅 → １＝（１，槡３，２），犃１犅 → １＝（１，槡３，－２），犃１犆 → １＝（０，槡２ ３，－３）． 由犃犅 → １·犃１犅 → １＝０，得犃犅１⊥犃１犅１． 由犃犅 → １·犃１犆 → １＝０，得犃犅１⊥犃１犆１． 又犃１犅１∩犃１犆１＝犃１，犃１犅１，犃１犆１平面犃１犅１犆１， 所以犃犅１⊥平面犃１犅１犆１． ② 设直线犃犆１ 与平面犃犅犅１ 所成的角为θ． 由（１）可知犃犆 → １＝（０，槡２ ３，１）， → 犃犅＝（１，槡３，０），犅犅 → １＝（０，０，２）． 设平面犃犅犅１ 的一个法向量为狀＝（狓，狔，狕）． 由 狀· → 犃犅＝０， 狀·犅犅 → １＝０ 烅 烄 烆 ， 得 狓 槡＋ ３狔＝０， ２狕＝０ 烅 烄 烆 ． 可取狀＝（ 槡－ ３，１，０）． 所以ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈犃犆 → １，狀〉｜＝ ｜犃犆 → １·狀｜ ｜犃犆 → １｜｜狀｜ ＝ 槡３９ １３ ． 因此直线犃犆１ 与平面犃犅犅１ 所成的角的正弦值是 槡３９ １３ ． （２）① 因为犃犃１，犅犅１ 分别垂直平面犃犅犆于点犃，犅，犃犃１，犅犅１平面犃犃１犅１犅， 所以平面犃犃１犅１犅⊥平面犃犅犆． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １４３　 又犕 为犃犅 的中点，所以犆犕⊥犃犅． 于是犆犕⊥平面犃１犃犅犅１，所以犆犕⊥犃１犅１． 又因为犕犖⊥犃１犅１，犆犕∩犕犖＝犕， 所以犃１犅１⊥平面犆犕犖． 又犆犖平面犆犕犖，所以犃１犅１⊥犆犖． ② 方法一　如图，延长犃犅，犃１犅１ 相交于点犇，连结犆犇，则犆犇为所求二面角的棱． 因为犅犅１＝ １ ２ 犃犃１，犅犅１∥犃犃１，所以 犇犅 犇犃 ＝ １ ２ ． 于是犅犇＝犅犆＝犅犃