第二部分 微专题四 运用空间向量证明位置关系及计算空间角-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １３３　 !"#' 运用空间向量证明位置关系及计算空间角 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１８·江苏卷第２２题）如图，在正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 中， 犃犅＝犃犃１＝２，点犘，犙分别为犃１犅１，犅犆的中点． （１）求异面直线犅犘与犃犆１ 所成角的余弦值； （２）求直线犆犆１ 与平面犃犙犆１ 所成角的正弦值． 【解】　如图，在正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 中，设犃犆，犃１犆１ 的中点分 别为犗，犗１，则犗犅⊥犗犆，犗犗１⊥犗犆，犗犗１⊥犗犅，以｛ → 犗犅， → 犗犆，犗犗 → １｝为基 底，建立空间直角坐标系犗狓狔狕． 因为犃犅＝犃犃１＝２，所以犃（０，－１，０），犅（槡３，０，０），犆（０，１，０）， 犃１（０，－１，２），犅１（槡３，０，２），犆１（０，１，２）． （１）因为犘为犃１犅１ 的中点，所以犘 槡３ ２ ，－ １ ２ ，（ ）２ ． 从而 → 犅犘＝ － 槡３ ２ ，－ １ ２ ，（ ）２ ，犃犆→ １＝（０，２，２）． 故｜ｃｏｓ〈 → 犅犘，犃犆 → １〉｜＝ ｜ → 犅犘·犃犆 → １｜ ｜ → 犅犘｜·｜犃犆 → １｜ ＝ ｜－１＋４｜ 槡 槡５×２ ２ ＝ 槡３ １０ ２０ ． 因此，异面直线犅犘与犃犆１ 所成角的余弦值为 槡３ １０ ２０ ． （２）因为犙为犅犆的中点，所以犙 槡３ ２ ，１ ２ ，（ ）０ ． 因此 → 犃犙＝ 槡３ ２ ，３ ２ ，（ ）０ ，犃犆→ １＝（０，２，２），犆犆→ １＝（０，０，２）． 设狀＝（狓，狔，狕）为平面犃犙犆１ 的一个法向量， 新高考复习指南·数学  １３４　 则 → 犃犙·狀＝０， 犃犆 → １·狀＝０ 烅 烄 烆 ， 即 槡３ ２ 狓＋ ３ ２ 狔＝０， ２狔＋２狕＝０ 烅 烄 烆 ． 不妨取狀＝（槡３，－１，１），设直线犆犆１ 与平面犃犙犆１ 所成角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈犆犆 → １，狀〉｜＝ ｜犆犆 → １·狀｜ ｜犆犆 → １｜·｜狀｜ ＝ ２ 槡５×２ ＝ 槡５ ５ ． 所以直线犆犆１ 与平面犃犙犆１ 所成角的正弦值为 槡５ ５ ． ２．（２０１５·全国Ⅰ卷理科第１８题）如图，四边形犃犅犆犇 为菱 形，∠犃犅犆＝１２０°，犈，犉 是平面犃犅犆犇 同一侧的两点，犅犈⊥平面 犃犅犆犇，犇犉⊥平面犃犅犆犇，犅犈＝２犇犉，犃犈⊥犈犆． （１）证明：平面犃犈犆⊥平面犃犉犆； （２）求直线犃犈与直线犆犉 所成角的余弦值． 【解】　（１）如图，连结犅犇，设犅犇交犃犆于点犌，连结犈犌，犉犌，犈犉．在菱形犃犅犆犇中， 不妨设犌犅＝１． 由∠犃犅犆＝１２０°，可得犃犌＝犌犆 槡＝ ３． 由犅犈⊥平面犃犅犆犇，犃犅，犅犆平面犃犅犆犇，所以犅犈⊥犅犃， 犅犈⊥犅犆．由犃犅＝犅犆，可知犃犈＝犈犆． 又犃犈⊥犈犆，犌为犃犆的中点，所以犈犌 槡＝ ３，且犈犌⊥犃犆． 在Ｒｔ△犈犅犌中，可得犅犈 槡＝ ２，故犇犉＝ 槡２ ２ ． 在Ｒｔ△犉犇犌中，可得犉犌＝ 槡６ ２ ． 在直角梯形犅犇犉犈中，由犅犇＝２，犅犈 槡＝ ２，犇犉＝ 槡２ ２ ，可得犈犉＝ 槡 ３ ２ ２ ． 从而犈犌２＋犉犌２＝犈犉２，所以犈犌⊥犉犌． 又犉犌，犃犆平面犃犆犉，犃犆∩犉犌＝犌，所以犈犌⊥平面犃犉犆． 因为犈犌平面犃犈犆，所以平面犃犈犆⊥平面犃犉犆． （２）如图，以犌为坐标原点，分别以 → 犌犅， → 犌犆的方向为狓轴、狔轴正方向，｜ → 犌犅｜为单位长 度，建立空间直角坐标系犌狓狔狕． 由（１）可得犃（０， 槡－ ３，０），犈（１，０，槡２），犉 －１，０，槡 ２（ ） ２ ，犆（０，槡３，０）． 故ｃｏｓ〈 → 犃犈， → 犆犉〉＝ → 犃犈· → 犆犉 ｜ → 犃犈｜·｜ → 犆犉｜ ＝－ 槡３ ３ ． 所以直线犃犈与直线犆犉 所成角的余弦值为 槡３ ３ ． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １３５　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 利用空间向量求空间角 不同点 考查的频率 平均每两年考查一次 每年都考 考查的难度 中档题 基础题、中档题 考查的形式 主要在理科附加题中考查，文科不考 查，以解答题形式呈现，一般是两小 题，分别考查线线角、线面角、二面角 中的两种，或者利用空间向量解决图 形中的长度、位置关系等问题 主要在解答题的第２，３两题中呈现， 一般在第（１）题中考查空间点、线、面 的位置关系，第（２）题中考查空间角， 可以用空间向量方法求角，也可以用 传统的点、线、面的位置关系求空间角 核心素养 空间想象、数学运算、逻辑推理 空间想象、数学运算、逻辑推理 点评 考查利用空间向量的方法求解空