第二部分 微专题三 空间几何体的表面积、体积的运算-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １２７　 !"#& 空间几何体的表面积、体积的运算 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第９题）如图，长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的体积 是１２０，犈为犆犆１的中点，则三棱锥犈犅犆犇 的体积是　　　　　． 【解】　因为长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的体积为１２０， 所以犃犅·犅犆·犆犆１＝１２０． 因为犈为犆犆１的中点，所以犆犈＝ １ ２ 犆犆１． 由长方体的性质知犆犆１⊥底面犃犅犆犇， 所以犆犈是三棱锥犈犅犆犇 的底面犅犆犇 上的高， 所以三棱锥犈犅犆犇 的体积犞＝ １ ３ × １ ２ 犃犅·犅犆·犆犈＝ １ ３ × １ ２ 犃犅·犅犆· １ ２ 犆犆１＝ １ １２ ×１２０＝１０． ２．（２０１７·全国Ⅰ卷理科第７题）某多面体的三视图如图所示，其 中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ２，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这 些梯形的面积之和为（　　）． Ａ．１０ 　　Ｂ．１２ Ｃ．１４ 　　Ｄ．１６ 【解】　观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成 的，且直三棱柱的底面是直角边长为２的等腰直角三角形，侧棱长为２． 三棱锥的底面是直角边长为２的等腰直角三角形，高为２，如图所示．因 此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 新高考复习指南·数学  １２８　 ２，下底长为４，高为２，故这两个梯形的面积之和为２× １ ２ ×（２＋４）×２＝１２．故选Ｂ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查空间几何体的表面积与体积，多以小题形式呈现 不同点 考查的频率 每年都考，以填空题为主，近５年在解 答题中考查一次 每年都考，以选择题和填空题为主 考查的难度 难度较小，以基础题和中档题形式 呈现 大多数以中档题形式呈现，但有时以 难题呈现，区分度较大 考查的形式 主要考查多面体、圆柱、圆锥等几何体 或由这些简单几何体拼接形成的几何 体的体积，２０１６年以实际背景形式呈 现，考查几何体体积的最值问题 除２０１９年外，其余每年都有一题以三 视图形式呈现，考查几何体的表面积、 体积、棱长等，在选择题、填空题的最 后一题将多面体、旋转体与球的知识 相结合，考查空间图形的位置关系及 表面积、体积等，并注重在实际问题中 的建模应用 核心素养 运算推理、数学建模 直观想象、运算推理、数学建模 点评 重点考查多面体的体积的计算方法， 考查等体积法、割补思想等 重点考查图形的转化能力，能将三视 图还原为空间几何体，重点考查多面 体、旋转体的体积的计算方法，对几何 体的点、线、面位置关系的判断要求 较高 二、例题导引 例１　如图，在△犃犅犆 中，犃犅＝８，犅犆＝１０，犃犆＝６，犇犅⊥平面 犃犅犆，且犃犈∥犉犆∥犅犇，犅犇＝３，犉犆＝４，犃犈＝５，求此几何体的体积． 【路径探析】　解答此类题目的关键是观察几何体的形状，因为此 几何体是不规则体，所以可以采用分割法或补全几何体的方法求解． 【详细解析】　方法一　如图，取犆犕＝犃犖＝犅犇，连结犇犕，犕犖，犇犖，用分割法把原几 何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，则犞几何体＝犞三棱柱＋犞四棱锥． 由题意知三棱柱犃犅犆犖犇犕 的体积为犞１＝ １ ２ ×８×６×３＝７２， 四棱锥犇犕犖犈犉 的体积为犞２＝ １ ３ ×犛梯形犕犖犈犉×犇犖＝ １ ３ × １ ２ ×（１＋２）×６×８＝２４， 则几何体的体积为犞＝犞１＋犞２＝７２＋２４＝９６． 方法二　用补形法把原几何体补成一个直三棱柱，使犃犃′＝犅犅′＝ 犆犆′＝８，所以犞几何体＝ １ ２ 犞三棱柱＝ １ ２ ×犛△犃犅犆×犃犃′＝ １ ２ ×２４×８＝９６． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １２９　 　　【反思评析】　解决此类问题的关键是认识几何体的形状，若几何体是柱体、锥体或球， 直接利用公式即可求解；若几何体是不规则体，则要善于将其进行割补，转化为常见的几何 体求解． 例２　已知直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 的６个顶点都在球犗的球面上，若犃犅＝３，犃犆＝４， 犃犅⊥犃犆，犃犃１＝１２，则球犗的半径为　　　　　． 【路径探析】　根据图形作出直三棱柱的外接球，利用球的几何性质探寻球的半径与已 知直三棱柱的量之间的关系． 【详细解析】　如图，由球心作平面犃犅犆的垂线，则垂足为犅犆的 中点犕． 又犃犕＝ １ ２ 犅犆＝ ５ ２ ，犗犕＝ １ ２ 犃犃１＝６， 所以球犗的半径犚＝犗犃＝ （ ）５２ ２ ＋６槡 ２＝ １３ ２ ． 【引申探究】　在封闭的直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１内有一个体积为犞 的球，若犃犅⊥犅犆， 犃犅＝６，犅犆＝８，犃犃１＝３，