第二部分 微专题二 空间点、线、面的位置关系的证明-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １２０　 !"#% 空间点、线、面的位置关系的证明 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第１６题）如图，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 中，犇，犈分别为犅犆，犃犆 的中点，犃犅＝犅犆．求证： （１）犃１犅１∥平面犇犈犆１； （２）犅犈⊥犆１犈． 【证明】　（１）因为犇，犈分别为犅犆，犃犆的中点， 所以犈犇∥犃犅． 在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 中，犃犅∥犃１犅１， 所以犃１犅１∥犈犇． 又因为犈犇平面犇犈犆１，犃１犅１平面犇犈犆１， 所以犃１犅１∥平面犇犈犆１． （２）因为犃犅＝犅犆，犈为犃犆的中点，所以犅犈⊥犃犆． 因为三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 是直棱柱， 所以犆犆１⊥平面犃犅犆． 又因为犅犈平面犃犅犆，所以犆犆１⊥犅犈． 因为犆１犆平面犃１犃犆犆１，犃犆平面犃１犃犆犆１，犆１犆∩犃犆＝犆， 所以犅犈⊥平面犃１犃犆犆１． 因为犆１犈平面犃１犃犆犆１，所以犅犈⊥犆１犈． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第１８题）如图，四边形犃犅犆犇为 正方形，犈，犉分别为犃犇，犅犆的中点，以犇犉为折痕把△犇犉犆 折起，使点犆到达点犘 的位置，犘犉⊥犅犉． （１）证明：平面犘犈犉⊥平面犃犅犉犇； （２）求犇犘与平面犃犅犉犇 所成角的正弦值． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １２１　 【解】　（１）由已知可得犅犉⊥犘犉，犅犉⊥犈犉，又犘犉平面犘犈犉，犈犉平面犘犈犉， 犘犉∩犈犉＝犉，所以犅犉⊥平面犘犈犉． 又犅犉平面犃犅犉犇，所以平面犘犈犉⊥平面犃犅犉犇． （２）作犘犎⊥犈犉，垂足为犎．由（１）得犘犎⊥平面犃犅犉犇． 以犎 为坐标原点， → 犎犉的方向为狔轴正方向，｜ → 犅犉｜为单位 长，建立如图所示的空间直角坐标系犎狓狔狕． 由（１）可得犇犈⊥犘犈．又犇犘＝２，犇犈＝１，所以犘犈 槡＝ ３．又 犘犉＝１，犈犉＝２，故犘犈⊥犘犉．进一步可得犘犎＝ 槡３ ２ ，犈犎＝ ３ ２ ． 则犎（０，０，０），犘 ０，０，槡 ３（ ） ２ ，犇 －１，－ ３ ２ ，（ ）０ ，→犇犘＝ １，３２，槡 ３（ ） ２ ， → 犎犘＝ ０，０，槡 ３（ ） ２ 为平 面犃犅犉犇的法向量． 设犇犘与平面犃犅犉犇 所成角为θ，则ｓｉｎθ＝ → 犎犘· → 犇犘 ｜ → 犎犘｜｜ → 犇犘｜ ＝ ３ ４ 槡３ ＝ 槡３ ４ ． 所以犇犘与平面犃犅犉犇 所成角的正弦值为 槡３ ４ ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 重点考查空间点、线、面的平行及垂直关系的证明，是每年必考题 不同点 考查的难度 难度较小，以基础题和中档题形式呈现 以中档题呈现 考查的形式 一般是解答题第１，２题，多以柱体、锥 体为载体，分两小题呈现，分别考查平 行和垂直关系 一般是解答题第２，３题，多以柱体、锥 体为载体，但也有复杂的几何体（如五 面体）或翻折图形，一般是两小题，第 一题考查位置关系，第二题考查空 间角 核心素养 逻辑推理、直观想象 逻辑推理、直观想象、数学运算 点评 重点考查平行、垂直的判定定理和性 质定理 考查的判断方法不局限于对定理结 论的应用，还涉及通过运算证明空间 的平行与垂直关系 二、例题导引 例１　如图，在三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１ 中，犈，犉，犌，犎 分别是犃犅， 犃犆，犃１犅１，犃１犆１ 的中点，求证： （１）犅，犆，犎，犌四点共面； （２）平面犈犉犃１∥平面犅犆犎犌． 新高考复习指南·数学  １２２　 【路径探析】　第（１）题先利用平行公理证明直线犌犎 与犅犆 平行，再利用公理３的推 论证明四点共面；第（２）题要证明面面平行，转化为证明线面平行，在平面犈犉犃１ 内找两条 相交直线平行于平面犅犆犎犌，而线面平行又可转化为线线平行，利用平面几何的知识、三角 形中位线的性质以及平行四边形的性质即可证明线线平行． 【详细解析】　（１）因为犌，犎 分别是犃１犅１，犃１犆１ 的中点， 所以犌犎 是△犃１犅１犆１ 的中位线，所以犌犎∥犅１犆１． 又因为犅１犆１∥犅犆，所以犌犎∥犅犆，所以犅，犆，犎，犌四点共面． （２）因为犈，犉分别是犃犅，犃犆的中点，所以犈犉∥犅犆． 因为犈犉平面犅犆犎犌，犅犆平面犅犆犎犌， 所以犈犉∥平面犅犆犎犌． 因为犃１犌∥犈犅且犃１犌＝犈犅，所以四边形犃１犈犅犌是平行四边形． 所以犃１犈∥犌犅． 因为犃１犈平面犅犆犎犌，犌犅平面犅犆犎犌，所以犃１犈∥平面犅犆犎犌． 因为犃１犈∩犈犉＝犈，所以平面犈犉犃１∥平面犅犆犎犌． 【引申探究】 １．在本例条件下，若犇为犅犆１的中点，求证：犎犇∥平面犃１犅１犅犃． 证明　如图，连结犎犇，犃１犅． 因为犇为犅犆１ 的中点，犎 为犃１犆１ 的中点，