第二部分 微专题一 空间点、线、面的位置关系的判断-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １１４　 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 立体几何篇 !"#$ 空间点、线、面的位置关系的判断 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２００８·江苏卷第１２题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： ① 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α平行于β； ② 若α外一条直线犾与α内的一条直线平行，则犾和α平行； ③ 设α和β相交于直线犾，若α内有一条直线垂直于犾，则α和β垂直； ④ 直线犾与α垂直的充分必要条件是犾与α内的两条直线垂直． 其中，真命题 獉獉獉 是　　　　　．（写出所有真命题的序号） 【解】　①是空间两平面平行的判定定理的推论；②是空间直线与平面平行的判定定 理；对于③，α内有一条直线须垂直于平面β，才可得α和β垂直，故③错误；直线犾与α垂直 的充分必要条件是犾与α内的两条相交直线垂直，故④错误．故填①②． ２．（２０１９·全国Ⅲ卷理科第８题）如图，点犖 为正方形犃犅犆犇 的中心，△犈犆犇为正三 角形，平面犈犆犇⊥平面犃犅犆犇，犕 是线段犈犇 的中点，则（　　）． Ａ．犅犕＝犈犖，且直线犅犕，犈犖 是相交直线 Ｂ．犅犕≠犈犖，且直线犅犕，犈犖 是相交直线 Ｃ．犅犕＝犈犖，且直线犅犕，犈犖 是异面直线 Ｄ．犅犕≠犈犖，且直线犅犕，犈犖 是异面直线 【解】　如图，作犈犗⊥犆犇，垂足为点犗，连结犗犖，过 犕 作 犕犉⊥犗犇，垂足为点犉． 连结犅犉，因为平面犆犇犈⊥平面 犃犅犆犇，平面犆犇犈∩平面 犃犅犆犇＝犆犇，犈犗⊥犆犇，犈犗平面犆犇犈，所以犈犗⊥平面犃犅犆犇．同 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（立体几何篇） １１５　 理，犕犉⊥平面 犃犅犆犇．又因为 犅犉平面 犃犅犆犇，犗犖平面 犃犅犆犇，所以 犕犉⊥犅犉， 犈犗⊥犗犖，所以△犕犉犅与△犈犗犖 均为直角三角形． 设正方形犃犅犆犇的边长为２，易知犈犗 槡＝ ３，犗犖＝１，犈犖＝２，所以犕犉＝ 槡３ ２ ，犅犉＝ ５ ２ ， 则犅犕 槡＝ ７．所以犅犕≠犈犖． 因为四边形犃犅犆犇为正方形，所以犖 为犅犇 的中点，即犈犖，犕犅均在平面犅犇犈 内， 所以直线犅犕，犈犖 是相交直线．故选Ｂ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 空间点、线、面的位置关系的判断方法 不同点 考查的频率 从２００８年至今，只在小题中考查过 一次 近几年考查频率较高 考查的难度 难度较小，以基础题和中档题形式 呈现 难度相对较大，常常以压轴题形式 呈现 考查的形式 主要考查平行、垂直等位置关系的 判断 多以空间几何体为载体，考查的内容 不仅仅有常见的平行、垂直关系的判 断，还涉及异面直线的判断等不常考 的知识点 核心素养 逻辑推理、直观想象 逻辑推理、直观想象、数学运算 点评 重点考查平行、垂直的判定定理和性 质定理 考查的判断方法不局限于对定理结论 的应用，还涉及通过运算证明空间线 面的平行与垂直关系 二、例题导引 例１　如图，在下列四个正方体中，犃，犅为正方体的两个顶点，犕，犖，犙为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直线犃犅与平面犕犖犙 不平行的是（　　）． 【路径探析】　本题主要考查线面的位置关系等基础知识，意在考查空间想象能力、化 归与转化能力．解决此类问题的关键是把空间中线面平行问题转化为线线平行问题．故在 所给的图形中，寻找在平面犕犖犙内是否存在与直线犃犅 平行的直线． 新高考复习指南·数学  １１６　 【详细解析】　对于选项Ｂ，易知犃犅∥犕犙，则直线犃犅∥平面犕犖犙；对于选项Ｃ，易知 犃犅∥犕犙，则直线犃犅∥平面犕犖犙；对于选项Ｄ，易知犃犅∥犖犙，则直线犃犅∥平面犕犖犙． 故排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，选Ａ． 【反思评析】　判断或证明线面平行的常用方法有： （１）利用线面平行的定义（无公共点）； （２）利用线面平行的判定定理（犪α，犫α，犪∥犫犪∥α）； （３）利用面面平行的定义（α∥β，犪α犪∥β）． 判断直线与平面是否平行，关键是应用直线与平面平行的判定定理和两平面平行的性 质定理．从直线与平面平行的判定定理入手，关键是在已知平面内寻找与已知直线平行的 直线，利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻 找比例式证明两直线平行；从两平面平行的性质定理入手，关键是探寻两个平行平面，一般 通过作辅助线，在其中一个平面内分别找两条相交直线与另一个平面平行，再利用两平面 平行的性质定理证明直线与平面平行． 例２　平面α过正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１ 的顶点犃，α∥平面犆犅１犇１，α∩平面犃犅犆犇＝ 犿，α∩平面犃犅犅１犃１＝狀，则犿，狀所成角的正弦值为（　　）． Ａ． 槡３ ２ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ．