第二部分 微专题三 数列前n项和的常见求法-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １０４　 !"#& 数列前狀项和的常见求法 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１５·江苏卷第１１题）已知数列｛犪狀｝满足犪１＝１，且犪狀＋１－犪狀＝狀＋１（狀∈犖 ），则 数列 １ 犪｛ ｝狀 前１０项的和为　　　　　　． 【解】　因为犪狀＝（犪狀－犪狀－１）＋（犪狀－１－犪狀－２）＋…＋（犪２－犪１）＋犪１ ＝狀＋狀－１＋…＋２＋１＝ 狀（狀＋１） ２ ， 所以１ 犪狀 ＝２ １ 狀 － １ 狀（ ）＋１ ，犛狀＝２１－ １ 狀（ ）＋１ ＝ ２狀 狀＋１ ，犛１０＝ ２０ １１ ． ２．（２０１５·全国Ⅱ卷理科第１６题）设犛狀是数列｛犪狀｝的前狀项和，且犪１＝－１，犪狀＋１＝ 犛狀犛狀＋１，则犛狀＝　　　　． 【解】　当狀＝１时，犛１＝犪１＝－１，所以 １ 犛１ ＝－１． 因为犪狀＋１＝犛狀＋１－犛狀＝犛狀犛狀＋１，所以 １ 犛狀 － １ 犛狀＋１ ＝１，即 １ 犛狀＋１ － １ 犛狀 ＝－１． 所以 １ 犛｛ ｝狀 是以－１为首项、－１为公差的等差数列． 所以１ 犛狀 ＝（－１）＋（狀－１）（－１）＝－狀，所以犛狀＝－ １ 狀 ． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（数列篇） １０５　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查逻辑推理和数学运算等核心素养 不同点 考查的频率 近几年考查频率较高 近几年考查频率很高 考查的难度 属中高档题 属中低档题 考查的形式 通常在填空题中出现 在选择题、填空题或解答题中均有 考查 点评 全国卷对数列前狀项和重点考查的是分组、裂项相消和错位相减这几种常见 的求和方法，有时还综合函数或不等式考查 二、例题导引 例１　已知数列｛犪狀｝是３＋２－１，６＋２ ２－１，９＋２３－１，１２＋２４－１，…，写出数列｛犪狀｝的 通项公式并求其前狀项和犛狀． 【路径探析】　本题考查的数列由等差和等比数列的加减而得，我们采用分组求和，只 需把等差和等比数列分别求和即可得到新数列的和． 【详细解析】　由已知得数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝３狀＋２ 狀－１＝３狀－１＋２狀． 所以犛狀＝犪１＋犪２＋…＋犪狀＝（２＋５＋…＋３狀－１）＋（２＋２ ２＋…＋２狀） ＝ 狀（２＋３狀－１） ２ ＋ ２（１－２狀） １－２ ＝ １ ２ 狀（３狀＋１）＋２狀＋１－２． 【反思评析】　先将数列分解成若干个能求和的新数列的和或差，然后分别求总和或 差．数列的项如果具有某种周期性，也可使用分组求和法． 例２　已知等差数列｛犪狀｝的前３项和为６，前８项和为－４． （１）求数列｛犪狀｝的通项公式； （２）设犫狀＝（４－犪狀）狇 狀－１（狇≠０，狀∈犖），求数列｛犫狀｝的前狀项和犛狀． 【路径探析】　本题中犫狀是一个差比数列，作运算犛狀－狇犛狀，除首末两项外，其余项提取 等差数列的公差后就构成一个新的等比数列（公比仍然为狇），作差后要考虑第一项能不能 融入等比数列． 【详细解析】　（１）设等差数列｛犪狀｝的公差为犱． 由已知得 ３犪１＋３犱＝６， ８犪１＋２８犱＝－４ 烅 烄 烆 ， 解得 犪１＝３， 犱＝－１ 烅 烄 烆 ． 故犪狀＝３＋（狀－１）·（－１）＝４－狀． （２）由（１）得犫狀＝狀·狇 狀－１，于是犛狀＝１·狇 ０＋２·狇 １＋３·狇 ２＋…＋狀·狇 狀－１． 若狇≠１，将上式两边同乘以狇，有狇犛狀＝１·狇 １＋２·狇 ２＋３·狇 ３＋…＋（狀－１）·狇 狀－１＋狀·狇 狀． 两式相减得 （狇－１）犛狀＝狀狇 狀－１－狇 １－狇 ２－…－狇 狀－１＝狀狇 狀－ 狇 狀－１ 狇－１ ＝ 狀狇 狀＋１－（狀＋１）狇 狀＋１ 狇－１ ． 新高考复习指南·数学  １０６　 于是犛狀＝ 狀狇 狀＋１－（狀＋１）狇 狀＋１ （狇－１） ２ ． 若狇＝１，则犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀＝ 狀（狀＋１） ２ ． 所以犛狀＝ 狀（狀＋１） ２ ，　　　　　　狇＝１， 狀狇 狀＋１－（狀＋１）狇 狀＋１ （狇－１） ２ ，狇≠１ 烅 烄 烆 ． 【反思评析】　通项公式为等差数列乘以等比数列的情形通常适合用错位相减法求和． 例３　在数列｛犪狀｝中，犪１＝１，当狀≥２时，其前狀项和犛狀满足犛 ２ 狀＝犪狀 犛狀－（ ）１２ ． （１）求犛狀的表达式； （２）设犫狀＝ 犛狀 ２狀＋１ ，求｛犫狀｝的前狀项和犜狀． 【路径探析】　本题可通过将犫狀裂项后进行求和．利用裂项求和时，被消去的项前后对 称，也就是前面剩几项后面也剩几项，而且前面所剩的项是正项，后面所剩的项必是负项． 【详细解析】　（１）∵犛 ２ 狀＝犪狀 犛狀－（ ）１２ ，犪狀＝犛狀－犛狀－１（狀≥２）， ∴犛２狀＝（犛狀－犛狀－１）犛狀－（ ）１２ ，即２犛狀－１犛狀＝犛狀－１－犛狀　①