第二部分 微专题二 数列通项公式的常见求法-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １００　 !"#% 数列通项公式的常见求法 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第２０题）定义首项为１且公比为正数的等比数列为“犕数列”． （１）已知等比数列｛犪狀｝（狀∈犖 ）满足：犪２犪４＝犪５，犪３－４犪２＋４犪１＝０，求证：数列｛犪狀｝为 “犕数列”． （２）已知数列｛犫狀｝（狀∈犖 ）满足：犫１＝１， １ 犛狀 ＝ ２ 犫狀 － ２ 犫狀＋１ ，其中犛狀为数列｛犫狀｝的前狀 项和． ① 求数列｛犫狀｝的通项公式； ② 略． 【解】　（１）设等比数列｛犪狀｝的公比为狇，所以犪１≠０，狇≠０． 由 犪２犪４＝犪５， 犪３－４犪２＋４犪１＝０ 烅 烄 烆 ， 得 犪２１狇 ４＝犪１狇 ４， 犪１狇 ２－４犪１狇＋４犪１＝０ 烅 烄 烆 ， 解得 犪１＝１， 狇＝２ 烅 烄 烆 ． 因此数列｛犪狀｝为“犕数列”． （２）① 因为 １ 犛狀 ＝ ２ 犫狀 － ２ 犫狀＋１ ，所以犫狀≠０． 由犫１＝１，犛１＝犫１，得 １ １ ＝ ２ １ － ２ 犫２ ，则犫２＝２． 由１ 犛狀 ＝ ２ 犫狀 － ２ 犫狀＋１ ，得犛狀＝ 犫狀犫狀＋１ ２（犫狀＋１－犫狀） ． 当狀≥２时，由犫狀＝犛狀－犛狀－１，得犫狀＝ 犫狀犫狀＋１ ２（犫狀＋１－犫狀） － 犫狀－１犫狀 ２（犫狀－犫狀－１） ． 整理得犫狀＋１＋犫狀－１＝２犫狀． 所以数列｛犫狀｝是首项和公差均为１的等差数列． 因此，数列｛犫狀｝的通项公式为犫狀＝狀（狀∈犖 ）． ２．（２０１３·全国Ⅰ卷理科第１４题）若数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀＝ ２ ３ 犪狀＋ １ ３ ，则数列 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（数列篇） １０１　 ｛犪狀｝的通项公式是犪狀＝　　　　． 【解】　当狀＝１时，犪１＝犛１＝ ２ ３ 犪１＋ １ ３ ，解得犪１＝１． 当狀≥２时，犪狀＝犛狀－犛狀－１＝ ２ ３ 犪狀＋ １ ３ － ２ ３ 犪狀－１＋（ ）１３ ＝ ２ ３ 犪狀－ ２ ３ 犪狀－１，即犪狀＝－２犪狀－１． 所以｛犪狀｝是首项为１、公比为－２的等比数列，故犪狀＝（－２） 狀－１． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 均在填空题中有所考查 不同点 考查的频率 直接考查的频率一般较低 近几年考查频率较高 考查的难度 以中低档题为主，偶尔在压轴题中 出现 难度较小，属中低档题 考查的形式 基本不直接考查，常渗透在解题过程 中考查 常以填空题或解答题形式进行考查 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理、数学建模、数学运算 点评 以考查犛狀 与犪狀 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点，以考查学生的 基本技能为主，在全国卷中有时也会与函数、不等式和三角等知识相结合考查 学生简单的综合运用能力 二、例题导引 例１　根据下面数列前几项的值，写出数列的一个通项公式． （１）３，５，９，１７，３３，…； （２） ２ ３ ，４ １５ ，６ ３５ ，８ ６３ ，１０ ９９ ，…； （３）０，１，０，１，０，１，…； （４）２，－６，１２，－２０，３０，－４２，…． 【路径探析】　本题需仔细观察分析，抓住几个方面的特征：分式中分子、分母各自的特 征；相邻项的联系特征；拆项后各部分的特征；符号特征，如正、负交替出现应考虑（－１）狀， 应多进行对比、分析，从整体到局部，多角度观察、归纳、联想． 【详细解析】　（１）犪狀＝２ 狀＋１；（２）犪狀＝ ２狀 （２狀－１）（２狀＋１） ；（３）犪狀＝ （－１）狀＋１ ２ ；（４）犪狀＝ （－１）狀＋１狀（狀＋１）． 【反思评析】　由数列的前几项归纳通项的常用方法及策略： （１）方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想 （联想常见的数列）等． （２）策略：① 分式中分子、分母的特征；② 相邻项的变化特征；③ 拆项后的特征；④ 各 新高考复习指南·数学  １０２　 项的符号特征和绝对值特征；⑤ 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或 寻找分子、分母之间的关系；⑥ 对于负号交替出现的情况，可用（－１） 犽 或（－１）犽＋１，犽∈犖 处理． 例２　在数列｛犪狀｝中，犛狀 是其前狀项和，若犪１＝１，犪狀＋１＝ １ ３ 犛狀（狀≥１），则犪狀＝　　　． 【解析】　∵犪狀＋１＝ １ ３ 犛狀（狀≥１），∴犪狀＝ １ ３ 犛狀－１（狀≥２）． ∴犪狀＋１－犪狀＝ １ ３ 犪狀（狀≥２），即犪狀＋１＝ ４ ３ 犪狀（狀≥２）． 当狀≥２时，犪狀＝ １ ３ ·（ ）４３ 狀－２ ；当狀＝１时，犪１＝１． ∴犪狀＝ １，　　　　 　狀＝１， １ ３ ·（ ）４３ 狀－２ ，狀≥２ 烅 烄 烆 ． 【反思评析】　数列的通项