第二部分 微专题一 数列中的基本量运算-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（数列篇） ９７　 檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 数 列 篇 !"#$ 数列中的基本量运算 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第８题）已知数列｛犪狀｝（狀∈犖 ）是等差数列，犛狀 是其前狀项和．若 犪２犪５＋犪８＝０，犛９＝２７，则犛８ 的值是　　　　　． 【解】　设等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱，则 （犪１＋犱）（犪１＋４犱）＋犪１＋７犱＝０， ９犪１＋ ９×８ ２ 犱＝２７ 烅 烄 烆 ， 解得 犪１＝－５， 犱＝２ 烅 烄 烆 ． 所以犛８＝８犪１＋ ８×７犱 ２ ＝８×（－５）＋２８×２＝１６． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第４题）记犛狀为等差数列｛犪狀｝的前狀项和，若３犛３＝犛２＋犛４， 犪１＝２，则犪５＝（　　）． Ａ．－１２ Ｂ．－１０ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 【解】　通解：设等差数列｛犪狀｝的公差为犱． ∵３犛３＝犛２＋犛４，∴３３犪１＋ ３×２ ２（ ）犱 ＝２犪１＋犱＋４犪１＋ ４×３ ２ 犱，解得犱＝－ ３ ２ 犪１． ∵犪１＝２，∴犱＝－３，∴犪５＝犪１＋４犱＝２＋４×（－３）＝－１０．故选Ｂ． 优解：设等差数列｛犪狀｝的公差为犱，∵３犛３＝犛２＋犛４，∴３犛３＝犛３－犪３＋犛３＋犪４． ∴犛３＝犪４－犪３，∴３犪１＋ ３×２ ２ 犱＝犱． ∵犪１＝２，∴犱＝－３，∴犪５＝犪１＋４犱＝２＋４×（－３）＝－１０．故选Ｂ． 新高考复习指南·数学  ９８　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查难度 难度均不大，属于简单题 核心素养 运算求解、逻辑推理 不同点 考查频率 近几年考查频率很高 近几年考查频率较高 考查形式 常以填空题的形式考查，或者作为解 答题的第一小题进行考查 常以填空和选择题的形式考查 点评 重点考查等差、等比数列相关公式的简单运用和计算 二、例题导引 例１　在等差数列｛犪狀｝中，犪１＝１，犪３＝－３． （１）求数列｛犪狀｝的通项公式； （２）若数列｛犪狀｝的前犽项和犛犽＝－３５，求犽的值． 【路径探析】　本题可由犪１ 和犪３ 的值求出基本量犱．第（２）题中可由犪１，犱和犛犽 这三个 量求出第四个量犽的值． 【详细解析】　（１）设等差数列｛犪狀｝的公差为犱，则犪狀＝犪１＋（狀－１）犱． 由犪１＝１，犪３＝－３，可得１＋２犱＝－３，解得犱＝－２．从而犪狀＝１＋（狀－１）×（－２）＝３－２狀． （２）由（１）可知犪狀＝３－２狀，所以犛狀＝ 狀［１＋（３－２狀）］ ２ ＝２狀－狀２． 由犛犽＝－３５，可得２犽－犽 ２＝－３５，即犽２－２犽－３５＝０，解得犽＝７或犽＝－５． 又犽∈犖 ，故犽＝７． 【反思评析】　（１）等差数列的通项公式及前狀项和公式共涉及五个量犪１，犪狀，犱，狀，犛狀， 知其中三个就能求出另外两个，这体现了用方程的思想来解决问题；（２）数列的通项公式 和前狀项和公式在解题中起到变量代换的作用，而犪１ 和犱是等差数列的两个基本量，用它 们表示已知和未知是常用方法． 例２　已知等比数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，且犪１＋犪３＝ ５ ２ ，犪２＋犪４＝ ５ ４ ，则犛狀 犪狀 ＝　 　． 【路径探析】　本题可由题中给出的两个方程解出基本量犪１ 和狇，再用犪１ 和狇表示 犛狀 犪狀 ． 【详细解析】　∵ 犪１＋犪３＝ ５ ２ ， 犪２＋犪４＝ ５ ４ 烅 烄 烆 ， ∴ 犪１＋犪１狇 ２＝ ５ ２ ，　　① 犪１狇＋犪１狇 ３＝ ５ ４ ． 烅 烄 烆 ② 由①②两式两边分别相除可得 １＋狇 ２ 狇＋狇 ３＝２，解得狇＝ １ ２ ，代入①式得犪１＝２，所以犪狀＝２× （ ）１２ 狀－１ ＝ ４ ２狀 ． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（数列篇） ９９　 所以犛狀＝ ２１－（ ）１２［ ］ 狀 １－ １ ２ ＝４１－ １ ２（ ）狀 ，所以 犛狀 犪狀 ＝ ４１－ １ ２（ ）狀 ４ ２狀 ＝２狀－１． 【反思评析】　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 犪１，狀，狇，犪狀，犛狀，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃而解． 例３　一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存１ＫＢ，然后每３ｍｉｎ自身复制 一次，复制后所占内存是原来的２倍，那么开机　　　　　ｍｉｎ，该病毒占据内存６４ＭＢ． （１ＭＢ＝２１０ＫＢ）　 【路径探析】　本题考查实际背景下等比数列的基本运算，只需由题意找到基本量犪１＝ ２，狇＝２即可． 【详细解析】　由题意知病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列｛犪狀｝，且 犪１＝２，狇＝２，所以犪狀＝２ 狀，则２狀＝６４×２１０＝２１６，故狀＝１６，即病毒共复制了１６次． 所以所需时间为１６×３＝４８（ｍｉｎ）．