第二部分 微专题五 平面向量的应用-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ９１　 !"#( 平面向量的应用 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１５·江苏卷第１４题）设向量犪犽＝ ｃｏｓ 犽π ６ ，ｓｉｎ 犽π ６ ＋ｃｏｓ 犽π（ ）６ （犽＝０，１，２，…，１２）， 则∑ １１ 犽＝０ 犪犽·犪犽＋１的值为　　　　　． 【解】　由犪犽＝ ｃｏｓ 犽π ６ ，ｓｉｎ 犽π ６ ＋ｃｏｓ 犽π（ ）６ ，则 犪犽·犪犽＋１＝ ｃｏｓ 犽π ６ ，ｓｉｎ 犽π ６ ＋ｃｏｓ 犽π（ ）６ · ｃｏｓ 犽＋１ ６ π，ｓｉｎ 犽＋１ ６ π＋ｃｏｓ 犽＋１ ６（ ）π ＝ｃｏｓ 犽π ６ ·ｃｏｓ 犽＋１ ６ π＋ ｓｉｎ 犽π ６ ＋ｃｏｓ 犽π（ ）６ · ｓｉｎ 犽＋１ ６ π＋ｃｏｓ 犽＋１ ６（ ）π ＝ ３ ２ ｃｏｓ π ６ ＋ １ ２ ｃｏｓ ２犽＋１ ６ π＋ｓｉｎ ２犽＋１ ６ π． 故∑ １１ 犽＝０ 犪犽·犪犽＋１＝∑ １１ 犽＝０ ３ ２ ｃｏｓ π ６ ＋ １ ２ ｃｏｓ ２犽＋１ ６ π＋ｓｉｎ ２犽＋１ ６（ ）π ＝ ３ ２∑ １１ 犽＝０ ｃｏｓ π ６ ＋ １ ２∑ １１ 犽＝０ ｃｏｓ ２犽＋１ ６ π＋∑ １１ 犽＝０ ｓｉｎ ２犽＋１ ６ π． 由∑ １１ 犽＝０ ｃｏｓ ２犽＋１ ６ π＝０，∑ １１ 犽＝０ ｓｉｎ ２犽＋１ ６ π＝０，得∑ １１ 犽＝０ 犪犽·犪犽＋１＝ ３ ２ ｃｏｓ π ６ 槡×１２＝９ ３． ２．（２０１７·全国Ⅲ卷理科第１２题）在矩形犃犅犆犇 中，犃犅＝１，犃犇＝２，动点犘在以点 犆为圆心且与犅犇 相切的圆上．若 → 犃犘＝λ → 犃犅＋μ → 犃犇，则λ＋μ的最大值为（　　）． 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２ ２ Ｃ．５ Ｄ．２ 【解】　建立如图所示的直角坐标系，则犆点的坐标为（２，１）．设犅犇 与圆犆 切于点犈， 连结犆犈，则犆犈⊥犅犇．由犆犇＝１，犅犆＝２，则犅犇＝ １ ２＋２槡 ２ 槡＝ ５，犈犆＝ 犅犆·犆犇 犅犇 ＝ ２ 槡５ ＝ 槡２ ５ ５ ，即圆犆的半径为 槡 ２ ５ ５ ． 新高考复习指南·数学  ９２　 所以犘点的轨迹方程为（狓－２）２＋（狔－１） ２＝ ４ ５ ． 设犘（狓０，狔０），则 狓０＝２＋ 槡２ ５ ５ ｃｏｓθ， 狔０＝１＋ 槡２ ５ ５ ｓｉｎ 烅 烄 烆 θ （θ为参数）． 而 → 犃犘＝（狓０，狔０）， → 犃犅＝（０，１）， → 犃犇＝（２，０）． 由 → 犃犘＝λ → 犃犅＋μ → 犃犇＝λ（０，１）＋μ（２，０）＝（２μ，λ），则μ＝ １ ２ 狓０＝１＋ 槡５ ５ ｃｏｓθ，λ＝狔０＝ １＋ 槡２ ５ ５ ｓｉｎθ．　 两式相加，得 λ＋μ＝１＋ 槡２ ５ ５ ｓｉｎθ＋１＋ 槡５ ５ ｃｏｓθ＝２＋ｓｉｎ（θ＋φ）≤３ｓｉｎφ＝ 槡５ ５ ，ｃｏｓφ＝ 槡２ ５（ ） ５ ， 当且仅当θ＝ π ２ ＋２犽π－φ，犽∈犣时，λ＋μ取得最大值３． 故选Ａ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 向量的工具性，向量与其他知识的综合 不同点 考查的频率 考查的次数比较多 近几年没有考查 考查的难度 难度较大，以压轴题形式呈现 难度中等，常常以中等题形式呈现 考查的形式 主要考查向量与三角、向量与平面几 何、向量与解析几何、向量与不等式等 的综合 多以平面图形为载体，考查向量的基 本运算，尤其是坐标运算，考查向量与 三角不等式的综合 核心素养 逻辑推理、数学运算 数学运算 点评 考查向量的运算，向量与三角、平面 图形的综合应用 重点考查向量的图形语言、坐标语 言、符号语言的相互转化，综合应用 向量的运算解决平面图形中的综合 问题 二、例题导引 例１　（１）在△犃犅犆中，已知向量 → 犃犅与 → 犃犆满足 → 犃犅 ｜ → 犃犅｜ ＋ → 犃犆 ｜ → 犃犆 烄 烆 烌 烎｜ · → 犅犆＝０，且 → 犃犅 ｜ → 犃犅｜ · → 犃犆 ｜ → 犃犆｜ ＝ １ ２ ，则△犃犅犆的形状为　　　　　　三角形． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ９３　 （２）已知直角梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，∠犃犇犆＝９０°，犃犇＝２，犅犆＝１，犘是腰犇犆上的 动点，则｜ → 犘犃＋３ → 犘犅｜的最小值为　　　　　　　． 【路径探析】　解决第（１）小题的关键是要将题设中的符号语言进行等价转化，转化为 图形语言进行求解，利用三角形的几何性质得到结论；第（２）小题根据题设条件，探究平面 图形的几何性质，通过建系转化为向量的坐标语言，利用向量的坐标运算进行求解． 【详细解析】　（１） → 犃犅 ｜ → 犃犅｜ ， → 犃犆 ｜ → 犃犆｜ 分别为平行于 →