第二部分 微专题四 平面向量的基本运算-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ８７　 !"#' 平面向量的基本运算 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏卷第１２题）如图，在同一个平面内，向量 → 犗犃， → 犗犅， → 犗犆的模分别为１，１， 槡２， → 犗犃与 → 犗犆的夹角为α，且ｔａｎα＝７， → 犗犅与 → 犗犆的夹角为４５°．若 → 犗犆＝ → 犿犗犃＋ → 狀犗犅（犿，狀∈ 犚），则犿＋狀＝　　　　． 【解】　方法一　由ｔａｎα＝７，α∈ ０， π（ ）２ ，可得ｓｉｎα＝ 槡 ７ ２ １０ ，ｃｏｓα＝ 槡２ １０ ． 根据向量的分解，易得 狀ｃｏｓ４５°＋犿ｃｏｓα 槡＝ ２， 狀ｓｉｎ４５°－犿ｓｉｎα＝０ 烅 烄 烆 ． 即 槡２ ２ 狀＋ 槡２ １０ 犿 槡＝ ２， 槡２ ２ 狀－ 槡７ ２ １０ 犿＝０ 烅 烄 烆 ， 即 ５狀＋犿＝１０， ５狀－７犿＝０ 烅 烄 烆 ． 解得犿＝ ５ ４ ，狀＝ ７ ４ ，所以犿＋狀＝３． 方法二　以犗为坐标原点、犗犃所在直线为狓轴建立平面直角坐标系，则犃（１，０）． 由ｔａｎα＝７，α∈ ０， π（ ）２ ，得ｓｉｎα＝ ７ 槡５ ２ ，ｃｏｓα＝ １ 槡５ ２ ． 设犆（狓犆，狔犆），犅（狓犅，狔犅），则 狓犆＝｜ → 犗犆｜ｃｏｓα 槡＝ ２× １ 槡５ ２ ＝ １ ５ ，狔犆＝｜ → 犗犆｜ｓｉｎα 槡＝ ２× ７ 槡５ ２ ＝ ７ ５ ，即犆 １ ５ ，（ ）７５ ． 又ｃｏｓ（α＋４５°）＝ １ 槡５２ × １ 槡２ － ７ 槡５２ × １ 槡２ ＝－ ３ ５ ，ｓｉｎ（α＋４５°）＝ ７ 槡５２ × １ 槡２ ＋ １ 槡５２ × １ 槡２ ＝ ４ ５ ， 则狓犅＝｜ → 犗犅｜ｃｏｓ（α＋４５°）＝－ ３ ５ ，狔犅＝｜ → 犗犅｜ｓｉｎ（α＋４５°）＝ ４ ５ ，即犅 － ３ ５ ，（ ）４５ ． 新高考复习指南·数学  ８８　 由 → 犗犆＝ → 犿犗犃＋ → 狀犗犅，可得 １ ５ ＝犿－ ３ ５ 狀， ７ ５ ＝ ４ ５ 狀 烅 烄 烆 ， 解得 犿＝ ５ ４ ， 狀＝ ７ ４ 烅 烄 烆 ， 所以犿＋狀＝ ５ ４ ＋ ７ ４ ＝３． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第６题）在△犃犅犆中，犃犇为犅犆边上的中线，犈为犃犇 的中 点，则 → 犈犅＝（　　）． Ａ． ３ ４ → 犃犅－ １ ４ → 犃犆 Ｂ． １ ４ → 犃犅－ ３ ４ → 犃犆 Ｃ． ３ ４ → 犃犅＋ １ ４ → 犃犆 Ｄ． １ ４ → 犃犅＋ ３ ４ → 犃犆 【解】　由犈为犃犇 的中点，则 → 犈犃＝－ １ ２ → 犃犇，所以 → 犈犅＝ → 犈犃＋ → 犃犅＝－ １ ２ → 犃犇＋ → 犃犅．又 因为犇为犅犆的中点，所以 → 犃犇＝ １ ２ （ → 犃犅＋ → 犃犆），则 → 犈犅＝－ １ ４ （ → 犃犅＋ → 犃犆）＋ → 犃犅＝ ３ ４ → 犃犅－ １ ４ → 犃犆．故选Ａ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查平面向量的线性运算、数量积，考查向量的模、夹角，向量的平行与垂直等 不同点 考查的频率 考查频率较高，每年必考 近几年考查频率较高 考查的难度 难度较大，以中档题和难题形式呈现 难度较小，常常以基础题形式呈现 考查的形式 主要考查向量的基本运算、向量在平 面图形中的应用、向量与其余知识的 交汇点，体现向量的工具性 多以向量的基本运算为主，考查平面 向量的概念及线性运算，数量积的定 义及向量的夹角、模的问题，考查向量 的坐标表示 核心素养 逻辑推理、数学运算 数学运算 点评 重点体现向量的工具性 重点考查向量的基本运算 二、例题导引 例１　如图，在△犃犅犆中，犅犗为边犃犆上的中线， → 犅犌＝２ → 犌犗，设 → 犆犇∥ → 犃犌，若 → 犃犇＝ １ ５ → 犃犅＋λ → 犃犆（λ∈犚），则λ的值为　　　　　． 【路径探析】　解决本题的关键是利用向量共线定理和平面向 量基本定理，利用平面图形的几何性质将目标向量用基底表示． 【详细解析】　因为 → 犅犌＝２ → 犌犗，所以 → 犃犌＝ ２ ３ × １ ２ （ → 犃犅＋ → 犃犆）＝ １ ３ → 犃犅＋ １ ３ → 犃犆． 因为 → 犆犇∥ → 犃犌，所以设 → 犆犇＝ → 犿犃犌． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ８９　 从而 → 犃犇＝ → 犃犆＋ → 犆犇＝ → 犃犆＋ 犿 ３ → 犃犅＋ 犿 ３ → 犃犆＝ １＋ 犿（ ）３ → 犃犆＋ 犿 ３ → 犃犅． 因为 → 犃犇＝ １ ５ → 犃犅＋λ → 犃犆，所以 犿