第二部分 微专题三 三角函数在平面图形中的应用-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ８１　 !"#& 三角函数在平面图形中的应用 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１８·江苏卷第１３题）在△犃犅犆中，角犃，犅，犆所对的边分别为犪，犫，犮，∠犃犅犆＝ １２０°，∠犃犅犆的平分线交犃犆于点犇，且犅犇＝１，则４犪＋犮的最小值为　　　　　　． 【解】　因为∠犃犅犆＝１２０°，∠犃犅犆的平分线交犃犆 于点犇，所以∠犃犅犇＝∠犆犅犇＝ ６０°．由三角形的面积公式可得 １ ２ 犪犮ｓｉｎ１２０°＝ １ ２ 犪ｓｉｎ６０°＋ １ ２ 犮ｓｉｎ６０°，化简得犪犮＝犪＋犮．又犪＞ ０，犮＞０，所以 １ 犪 ＋ １ 犮 ＝１，则４犪＋犮＝（４犪＋犮） １ 犪 ＋ １（ ）犮 ＝５＋ 犮 犪 ＋ ４犪 犮 ≥５＋２ 犮 犪 ·４犪槡 犮 ＝９，当 且仅当犮＝２犪时取等号，故４犪＋犮的最小值为９． ２．（２０１８·全国Ⅰ卷理科第１７题）在平面四边形犃犅犆犇中，∠犃犇犆＝９０°，∠犃＝４５°， 犃犅＝２，犅犇＝５． （１）求ｃｏｓ∠犃犇犅； （２）若犇犆 槡＝２ ２，求犅犆． 【解】　（１）如图，在△犃犅犇中，由正弦定理得 犅犇 ｓｉｎ∠犃 ＝ 犃犅 ｓｉｎ∠犃犇犅 ． 由题设知 ５ ｓｉｎ４５° ＝ ２ ｓｉｎ∠犃犇犅 ，所以ｓｉｎ∠犃犇犅＝ 槡２ ５ ． 由题设知∠犃犇犅＜９０°，所以ｃｏｓ∠犃犇犅＝ １－ 槡２（ ） ５槡 ２ ＝ 槡２３ ５ ． （２）由题设及（１）知ｃｏｓ∠犅犇犆＝ｓｉｎ∠犃犇犅＝ 槡２ ５ ． 在△犅犆犇中，由余弦定理得 犅犆２＝犅犇２＋犇犆２－２犅犇·犇犆·ｃｏｓ∠犅犇犆 槡＝２５＋８－２×５×２ ２× 槡２ ５ ＝２５． 所以犅犆＝５． 新高考复习指南·数学  ８２　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 以平面图形为载体，综合考查三角形中的三角函数问题 不同点 考查的频率 考查频率不高 近几年考查频率较高 考查的难度 在知识交汇处命题，有一定的难度 常常以中档题和压轴题形式呈现 考查的形式 主要以三角形为载体，重点考查正、余 弦定理的应用以及三角恒等变换等内 容，有时与不等式、向量等结合考查学 生综合应用所学知识和方法解决问题 的能力 不局限于三角形，综合考查四边形、五 边形等复杂的平面图形中的边角关 系，考查学生的等价转化能力 核心素养 逻辑推理、直观想象 逻辑推理、直观想象、数学运算 点评 注重考查基础知识和基本方法的直 接应用 综合考查学生等价转化和数学应用 能力 二、例题导引 例１　在△犃犅犆中，犇 是犅犆 上的点，犃犇 平分∠犅犃犆，△犃犅犇 的面积是△犃犇犆 的 ２倍． （１）求 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆 ； （２）若犃犇＝１，犇犆＝槡 ２ ２ ，求犅犇和犃犆的长． 【路径探析】　（１）先用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积关 系、角相等进行代换；（２）由（１）的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等 式来求解． 【详细解析】　（１）根据题意可得右图． 由正弦定理得 犛△犃犅犇 ＝ １ ２ 犃犅·犃犇ｓｉｎ∠犅犃犇，犛△犃犇犆 ＝ １ ２ 犃犆·犃犇ｓｉｎ∠犆犃犇．又因为犛△犃犅犇＝２犛△犃犇犆，∠犅犃犇＝∠犆犃犇， 所以犃犅＝２犃犆．由正弦定理得 ｓｉｎ犅 ｓｉｎ犆 ＝ 犃犆 犃犅 ＝ １ ２ ． （２）由题意知 犛△犃犅犇 犛△犃犇犆 ＝ 犅犇 犇犆 ＝ ２ １ ，所以犅犇＝２犇犆．又因为犇犆＝槡 ２ ２ ，所以犅犇 槡＝ ２． 在△犃犅犇和△犃犇犆中，由余弦定理得 犃犅２＝犃犇２＋犅犇２－２犃犇·犅犇ｃｏｓ∠犃犇犅， 犃犆２＝犃犇２＋犇犆２－２犃犇·犇犆ｃｏｓ∠犃犇犆． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ８３　 故犃犅２＋２犃犆２＝３犃犇２＋犅犇２＋２犇犆２＝６．由（１）知犃犅＝２犃犆，所以犃犆＝１． 即犅犇 槡＝ ２，犃犆＝１． 【反思评析】　若题设中出现三角形的角平分线、中线等，一是先将原三角形分割为两 个三角形，然后在两个小三角形中分别利用正弦定理或余弦定理探求边角的关系；二是利 用局部与整体的思想，借助原三角形与小三角形之间的公共量（边或角），在两个三角形中 分别利用正、余弦定理或三角形的面积等寻找边角关系；三是借助向量工具求边角关系；四 是建立坐标系利用点的轨迹求边角关系． 例２　如图，犃，犅，犆，犇为平面四边形犃犅犆犇 的四个内角． （１）求证：ｔａｎ 犃 ２ ＝ １－ｃｏｓ犃 ｓｉｎ犃 ； （２）若∠犃＋∠犆＝１８０°，犃犅＝６，犅犆＝３，犆犇＝４，犃犇＝５， 求ｔａｎ 犃 ２ ＋ｔａｎ 犅 ２ ＋ｔａｎ 犆 ２ ＋ｔａｎ 犇 ２ 的值． 【路径探析】　（１）首先由切化弦得ｔａｎ 犃 ２ ＝ ｓｉｎ 犃 ２ ｃｏｓ 犃 ２ ，为了