第二部分 微专题一 三角函数的化简、求值-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ６９　 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 三角、向量篇 !"#$ 三角函数的化简、求值 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第１３题）已知 ｔａｎα ｔａｎα＋ π（ ）４ ＝－ ２ ３ ，则ｓｉｎ２α＋ π（ ）４ 的值是　　　． 【解】　由 ｔａｎα ｔａｎα＋ π（ ）４ ＝ ｔａｎα ｔａｎα＋１ １－ｔａｎα ＝ ｔａｎα（１－ｔａｎα） ｔａｎα＋１ ＝－ ２ ３ ，得３ｔａｎ２α－５ｔａｎα－２＝０，解 得ｔａｎα＝２或ｔａｎα＝－ １ ３ ． 则ｓｉｎ２α＋ π（ ）４ ＝ｓｉｎ２αｃｏｓπ４＋ｃｏｓ２αｓｉｎπ４＝槡 ２ ２ （ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α） ＝ 槡２ ２ ２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ ２ α－ｓｉｎ ２ α ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ ２（ ）α ＝槡 ２ ２ ２ｔａｎα＋１－ｔａｎ ２ α ｔａｎ２α（ ）＋１ ． 当ｔａｎα＝２时，上式＝ 槡２ ２ × ２×２＋１－２２ ２２（ ）＋１ ＝槡 ２ １０ ； 当ｔａｎα＝－ １ ３ 时，上式＝槡 ２ ２ × ２× －（ ）１３ ＋１－ －（ ） １ ３ ２ －（ ）１３ ２ 烄 烆 烌 烎 ＋１ ＝ 槡２ １０ ． 综上，ｓｉｎ２α＋ π（ ）４ ＝槡 ２ １０ ． ２．（２０１４·全国Ⅰ卷理科第８题）设α∈ ０， π（ ）２ ，β∈ ０，π（ ）２ ，且ｔａｎα＝ １＋ｓｉｎβ ｃｏｓβ ，则（　　）． Ａ．３α－β＝ π ２ 　　　Ｂ．２α－β＝ π ２ 　　　Ｃ．３α＋β＝ π ２ 　　　Ｄ．２α＋β＝ π ２ 新高考复习指南·数学  ７０　 【解】　由ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ １＋ｓｉｎβ ｃｏｓβ ，得ｓｉｎαｃｏｓβ＝ｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎβ． 则ｓｉｎ（α－β）＝ｃｏｓα＝ｓｉｎ π ２ －（ ）α ． 又因为０＜α＜ π ２ ，０＜β＜ π ２ ，所以－ π ２ ＜α－β＜ π ２ ，０＜ π ２ －α＜ π ２ ，所以α－β＝ π ２ －α， 即２α－β＝ π ２ ．故选Ｂ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查三角函数的化简、求值的基本方法，考查同角三角函数的基本关系式、诱 导公式、两角和与差及二倍角公式的应用 不同点 考查的频率 每年必考 近几年考查频率较高 考查的难度 难度不确定，基础题、中档题、难题都 有呈现 难度较小，常常以基础题形式呈现 考查的形式 可以是三角函数的纯化简求值问题， 也可以与向量、不等式等结合，考查最 值类问题 多以解答题形式呈现，主要以三角形 为背景，结合正、余弦定理，考查三角 函数的化简求值问题 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理、数学运算、数学建模 点评 重点考查考生对公式的灵活运用，以 及在知识点交汇处的数学应用能力 重点考查三角形背景下的三角函数的 化简与求值问题，体现了三角函数在 三角形中的应用 二、例题导引 例１　已知α∈ ０， π（ ）２ ，２ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α＋１，则ｓｉｎα＝（　　）． Ａ． １ ５ 　　　　　　Ｂ． 槡５ ５ 　　　　　　Ｃ． 槡３ ３ 　　　　　　Ｄ． 槡２ ５ ５ 【路径探析】　利用二倍角公式得到正、余弦关系，利用角的范围及正、余弦平方和为１ 的关系得出答案． 【详细解析】　由２ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α＋１，得４ｓｉｎαｃｏｓα＝２ｃｏｓ ２ α． 又α∈ ０， π（ ）２ ，故ｃｏｓα＞０，ｓｉｎα＞０，故２ｓｉｎα＝ｃｏｓα． 由ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ ２ α＝１，得５ｓｉｎ ２ α＝１，即ｓｉｎ ２ α＝ １ ５ ． 又ｓｉｎα＞０，所以ｓｉｎα＝ 槡５ ５ ．故选Ｂ． 【反思评析】　本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式，中等难度， ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（三角、向量篇） ７１　 判断正弦和余弦的正负，运算准确是关键，题目不难，但需细心．解决三角函数问题，研究角 的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉． 三角函数式的化简与求值的基本方法有：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或 升幂．解题时要遵循“三看”原则． 例２　已知ｃｏｓα＋ π（ ）４ ＝槡 ２ １０ ，α∈ ０， π（ ）２ ． （１）求ｓｉｎα的值； （２）若ｃｏｓβ＝ １ ３ ，β∈（０，π），求ｃｏｓ（α－２β）的值． 【路径探析】　第（１）题思路一是先利用两角和的余弦公式将已知表达式展开，再利用 同角三角函数的基本关系式求解，但是运算量较大；思路二是先利用角的变化，得出α＝ α＋ π（ ）４ －π４，再利用同角三角函数基本关系式求出ｓｉｎα＋π（ ）４ 的值，最后利用两角差的 正弦公式求出