第二部分 微专题十 基本不等式及其应用-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ６５　 !"#- 基本不等式及其应用 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第１０题）平面直角坐标系狓犗狔中，犘是曲线狔＝狓＋ ４ 狓 （狓＞０）上的 一个动点，则点犘到直线狓＋狔＝０的距离的最小值是　　　　　　． 【解】　设犘 狓，狓＋ ４（ ）狓 （狓＞０），则点犘到直线狓＋狔＝０的距离为 犇＝ 狓＋ 狓＋ ４（ ）狓 槡２ ＝ ２狓＋ ２（ ）狓 槡２ 槡＝ ２狓＋ ２（ ）狓 ≥４， 当且仅当狓＝ ２ 狓 ，即狓 槡＝ ２时等号成立． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第２３（１）题）已知犪，犫，犮为正数，且满足犪犫犮＝１．证明： １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ １ 犮 ≤犪 ２＋犫２＋犮２． 【解】　∵犪犫犮＝１，∴ １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ １ 犮 ＝ １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ １（ ）犮 ·犪犫犮＝犫犮＋犪犮＋犪犫． ∵２（犪２＋犫２＋犮２）＝（犪２＋犫２）＋（犫２＋犮２）＋（犮２＋犪２）≥２犪犫＋２犫犮＋２犪犮，当且仅当犪＝犫＝ 犮时取等号，∴２（犪２＋犫２＋犮２）≥２ １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ １（ ）犮 ，即犪２＋犫２＋犮２≥ １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ １ 犮 ． 新高考复习指南·数学  ６６　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 直接利用基本不等式解决问题 不同点 考查的频率 近５年每年都考 偶尔考查 考查的难度 在高考中属于中档题或难题 考查的难度不大 考查的形式 基本不等式经常与三角函数、直线和 圆等结合求函数的最值，都以小题的 形式出现 利用基本不等式证明不等式 核心素养 逻辑推理、数学建模 逻辑推理 点评 基本不等式在江苏数学考纲中的要 求为Ｃ级，是江苏高考试卷重点考查 的模块之一 在解答题最后的二选一中偶有考查 二、例题导引 例１　已知犪，犫∈犚，且犪－３犫＋６＝０，则２ 犪＋ １ ８犫 的最小值为　　　　　． 【路径探析】　首先由题意求得犪－３犫的值，然后结合均值不等式的结论整理计算所求 的式子即可求得最终结果，注意等号成立的条件． 【详细解析】　由犪－３犫＋６＝０可知犪－３犫＝－６，且２ 犪＋ １ ８犫 ＝２犪＋２－３犫． 因为对于任意狓，２狓＞０恒成立，结合均值不等式的结论可得 ２犪＋２－３犫≥２× ２ 犪×２－３槡 犫＝２× ２槡 －６＝ １ ４ ． 当且仅当 ２犪＝２－３犫， 犪－３犫＝－６ 烅 烄 烆 ， 即 犪＝－３， 犫 烅 烄 烆＝１ 时等号成立． 综上可得，２犪＋ １ ８犫 的最小值为１ ４ ． 【反思评析】　在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，即“一 正———各项均为正，二定———积或和为定值，三相等———等号能否取得”，若忽略了某个条 件，就会出现错误． 例２　在△犃犅犆中，角犃，犅，犆所对的边分别为犪，犫，犮，∠犃犅犆＝１２０°，∠犃犅犆的平分 线交犃犆于点犇，且犅犇＝１，则４犪＋犮的最小值为　　　　　． 【路径探析】　先根据三角形面积公式得条件，再利用基本不等式求最值． 【详细解析】　由题意可知犛△犃犅犆＝犛△犃犅犇＋犛△犅犆犇，由角平分线性质和三角形面积公式 得１ ２ 犪犮ｓｉｎ１２０°＝ １ ２ 犪×１×ｓｉｎ６０°＋ １ ２ 犮×１×ｓｉｎ６０°，化简得犪犮＝犪＋犮， １ 犪 ＋ １ 犮 ＝１，因此４犪＋ ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ６７　 犮＝（４犪＋犮） １ 犪 ＋ １（ ）犮 ＝５＋ 犮 犪 ＋ ４犪 犮 ≥５＋２ 犮 犪 ·４犪槡 犮 ＝９． 当且仅当犮＝２犪＝３时取等号，则４犪＋犮的最小值为９． 【反思评析】　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足 基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”（不等式的一边必须为定值）、“等”（等号 取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误． 例３　已知正实数狓，狔满足狓狔＋２狓＋狔＝４，则狓＋狔的最小值为　　　　　　． 【路径探析】　本题所求表达式狓＋狔恰好在条件中有所体现，所以考虑将狓＋狔视为 一个整体，将等式中的项往狓＋狔的形式进行构造，狓狔＋２狓＋狔＝狓狔＋狓＋（狓＋狔）＝狓（狔＋ １）＋（狓＋狔），而狓（狔＋１）可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于狓＋狔的不 等式，解不等式即可． 【详细解析】　狓狔＋２狓＋狔＝４狓狔＋狓＋（狓＋狔）＝４狓（狔＋１）＋（狓＋狔）＝４． ∵狓（狔＋１）≤ （狓＋狔）＋１［ ］２ ２ ，∴ 方程变形为 （狓＋狔）＋１［ ］２ ２ ＋（狓＋狔）≥４． ∴ ［（狓＋狔）＋１］ ２＋４（狓＋狔）≥１６． ∴ （狓＋狔） ２＋６（狓＋狔）－１５≥０，解得狓＋狔≥ 槡－６＋ ９６ ２ 槡＝２ ６－３． 所以狓＋狔的最小值为