第二部分 微专题九 极值点偏移问题-新高考复习指南·数学

>>第二部分新高考复习重点解剖（函数篇】 微专题九 极值点偏移问题 一、真题比较 (一)真题再现 1.(2010·江苏卷第20(2)题)设f(x)是定义在区间(1，十∞)上的函数，其导函数为 f(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1，十o∞)都有h(x)>0,使得 f(x)=h(x)(.x2一ax十1)，则称函数f(x)具有性质P(a). 已知函数g(x)具有性质P(2).给定，x:∈(1，十∞)，<x,设m为实数，a mm1+(1-m)x2,3=(1-m).c1+.x2,且a>1,3>1,若|g(a)-g(8)<|g(x1)-g(.x), 求m的取值范围。 【解】方法一由题意，得g'(x)=h(.x)(x2一2x十1)=h(x)(x-1) 又h(x)对任意的x∈(1，十∞)都有h(x)>0,所以对任意的x∈(1，十o∞)都有g'(x)>0, 则g(x)在(1，十∞)上递增. 又a十3=x1+xg,a-3=(2m-1)(1-x4),所以 当m>分m≠1时，a<月，且a-=(m-1Da十(1-m)月-=1-m)十 (m-1)x2. 所以(a-x1)(3-x:)=-(m-1)产(x-x2)2<0,故a<x1<x<3或x1<a<3x2. 若a<c<x2<3,则f(a)<f(c)<f(x)<f(3),所以|g(a)-g(3)|>g(x) g(x)不合题意， x1<m.x+(1一m) 所以x1<a<<x2,即 (1-m).x1+mx2<x2 解得m<1,故2<m<1. 当m=2时a=月，0=g(a)-gg<g)-g(x,符合题意. 当m<号时a>A,且a一=m(x一x)g=一m(x-). 同理有c1<3<a<x2,即 国<1-m+m“解得m>0,所以0<m<号· mc+(1-m)x2<2, 57 新高考复习指南·数学 综上，得所求m的取值范围是(0,1). 方法二由题设知，g(x)的导函数g'(x)=h(x)(x2-2x十1)，其中函数h(x)>0对 于任意的x∈(1，十∞)都成立.所以，当x>1时，g'(x)=h(.x)(x一1)2>0，从而g(x)在区 间(1，十∞)上单调递增。 ①当m∈(0,1)时，有a=mx1+(1-m).x:>m.x1+(1-m)x1=x,a=m.x1+(1 m)x2<nx2十(1一m)x:=x2,得a∈（x,x).同理可得3∈(x2),所以由g(x)的单调性 知g(a),g(3)∈(g(x1),g(x). 从而有g(a)一g(3)1<g(x)一g()川，符合题设 ②当n≤0时，a=mx1十(1-m)x≥mxg十(1一m)xg=x,3=(1m)+m.x (1一m)x1+mx1=x1,于是由a>1,>1及g(x)的单调性知g()≤g(x1)<g(x2)≤g(a), 所以|g(a)一g(3)≥g(x1)-g(x:),与题设不符 ③当m≥1时，同理可得a≤c,3≥，进而得|g(a)一g(3)≥g(x)一g(x2)|,与题 设不符. 综上，得所求m的取值范围是(0,1). 2.(2016·全国I卷理科第21题)已知函数f(x)=(x一2)e+a(x一1)有两个 零点 (1)求a的取值范围： (2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1十x2<2. 【解】(1)f(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a). (i)设a=0,则f(x)=(.x-2)e,f(x)只有一个零点. (i)设a>0,则当x∈(-∞，1)时，f(x)<0:当x∈(1，十o∞)时，f(.x)>0. 所以f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln号，则 f)>受(h-a)+ah-1)=a(e-2b）>0. 故f(x)存在两个零点. (ii)设a<0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥-号，则ln(-2a)≤1，故当x∈(1，+o∞)时，f(x)>0,因此f(x)在(1，+o∞)上 单调递增.又当x≤1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-号，则ln(-2a)>1,故当x∈(1，ln(-2a)时，f(x)<0:当x∈(ln(-2a), 十o)时，f(x)>0.因此f(.x)在(1，In(一2a)上单调递减，在(ln(一2a),十o∞)上单调递 增.又当x≤1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上，a的取值范围为(0，十∞). 58 >>第二部分新高考复习重点解剖（函数篇） (2)由(1)知当a∈(0，+o∞)时，f(x)有两个零点c1,x2,且x1<1<xz: 令F(.x)=f(1+x)-f(1-x),则F'(x)=f(1+x)+f(1-x)=xe-(e-1). 当x<0时，